De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Continue partiŽle afgeleiden

f: 2 -$>$ Veronderstel dat de determinant van de Hessiaan van f overal positief is en dat ook tweede partiŽle afgeleide x = D211 f(x) $>$ 0 voor alle x element van 2.

Hoe moet je dan aantonen dat voor alle x element van 2:
f(x) $>$ f(a) + D1 f(a) (x1-a1) + D2 f(a) (x2-a2) ? (en wat betekent dit meetkundig?)

j
Student universiteit - donderdag 18 januari 2018

Antwoord

Wat het meetkundig betekent lijkt me duidelijk: de grafiek van $f$ ligt boven elk raakvlak van zijn grafiek (behalve telkens in het raakpunt natuurlijk, bij wat je aan moet tonen moet wel gelden dat $x\neq a$).
Dit heeft te maken met de stelling van Taylor voor meer verandelijken, in dit geval moet je gebruiken dat
$$
f(x)= f(a)+D_1f(a)(x_1-a_1)+D_2f(a)(x_2-a_2)+ \frac12\bigl(D_{11}f(t)(x_1-a_1)^2+2D_{12}f(t)(x_1-a_1)(x_2-a_2)+D_{22}f(t)(x_2-a_2)^2\bigr)
$$
waarbij $t$ een punt is op lijnstuk $[a,x]$.
Omdat de Hessiaan in $t$ positief is en omdat $D_{11}f(t) $>$ 0$ volgt nu dat de hele uitdrukking $\frac12(\ldots)$ hierboven strikt positief is.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 18 januari 2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker