De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Basisvector voor bewijs lineaire functie

Beste

We willen bewijzen hoe een lineaire functie van R2$\to$ R3 volledig bepaald wordt door een (3x2)-matrix volgens f(x)=Ax. in mijn boek gaat het bewijs als volgt:

We bekijken de waarden van f op de standaardbasis van R2. definieer:
(a1,1 ) = f ( 1 ) en ( a1,2 ) = f ( 0 )
a2,1 0 a2,2 1
a3,1 a3,2

Nu als we f kennen op de basisvectoren, dan kennen we f in elk punt.
Enzoverder...

Nu zit ik bij het begin van dit bewijs al vast. Vanwaar komen de waarden op de standaardbasis van R2 en hoezo kennen we f in elk punt als we f kennen op de basisvectoren?

mvg
Lisa

Lisa
Student universiteit - donderdag 4 januari 2018

Antwoord

Beste Lisa,

De lineaire afbeelding $f$ gaat van $\mathbb{R}^2$ naar $\mathbb{R}^3$ dus het beeld van een vector uit $\mathbb{R}^2$ is een vector uit $\mathbb{R}^3$. Hoe het beeld van bijvoorbeeld de basisvector $(1,0)$ eruit ziet kunnen we niet weten als we $f$ niet kennen, maar het is in het algemeen een vector van de vorm $(x,y,z)$. Ze geven die co÷rdinaten gewoon andere namen ($a_{1,1}$, ...); waarschijnlijk om het onderscheid met het beeld van de andere basisvector duidelijk te maken Ún om de brug al te leggen naar de matrix die ze met deze co÷rdinaten gaan vullen.

Het feit dat de beelden van de basisvectoren ook alle andere beelden bepalen, volgt uit de lineariteit van $f$. Omdat je elke vector $(x,y)$ kan schrijven als $x(1,0)+y(0,1)$ volgt ook elk beeld, want:
$$f\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)
=f\left(x\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right)
=x\cdot f\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\cdot f\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$$mvg,

Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 5 januari 2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker