WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoofdstelling van de integraalrekening

Beste

Ik begrijp een deel van de hoofdstelling van de integraalrekening dat onze prof er heeft bijgevoegd niet goed. Het gaat om het aantonen dat F (de primitieve van f) continu is.

We hebben dit genoteerd:
- |F(y)-F(x)| = |integraal van x naar y van f(t)dt| $\le$ M (y-x) (=M integraal van x naar y van dx)
(Hoe komen we hierop?)
- Daarna passen we Weierstrass toe en zeggen dat M = sup f(t) $<$ oneindig
(Ik snap het verband tussen Weierstrass en de andere stappen niet. Vooral hoe we ineens kunnen impliceren dat de limiet van F(y) = F(x))
- Dan impliceren we dat de limiet van y naar x van F(y) = F(x) dus dat F continu is.

Ik zie dus duidelijk de samenhang er niet echt in....

Alvast heel erg bedankt!!!

Emily
Student universiteit België - vrijdag 29 december 2017

Antwoord

Is dit het geval waar de functie $f$ continu wordt verondersteld?
Als je de zaken wat herschikt wordt het misschien wat duidelijker.
1. Het is handiger als je eerst afspreekt wat die $M$ is: het maximum van $|f(t)|$ op een gesloten interval waar $x$ in ligt. Dat maximum bestaat wegens de maximumstelling van Weierstrass.
2. Er geldt altijd $\bigl|\int_p^q f(t)\mathrm{d}t\bigr|\le \int_p^q|f(t)|\mathrm{d}t$ als $p $<$ q$ (die stelling is vast behandeld).
3. Wat ook behandeld zou moeten zijn is: als $A\le f(t)\le B$ op een interval $[p,q]$ dan geldt $A(q-p)\le\int_p^qf(t)\mathrm{d}t\le B(q-p)$.
4. Als je dit alles combineert krijgt je inderdaad dat
$$
|F(x)-F(y)|\le M|x-y|
$$
5. Nu kun je via de definitie bewijzen dat $F$ continu is in $x$: bij $\varepsilon $>$ 0$ neem je $\delta=\varepsilon/(M+1)$ en dan loopt alles verder gladjes.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 29 december 2017

Re: Hoofdstelling van de integraalrekening