De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Limiet met arctan

Geachte heer,

ik heb nl.de functie f(x) = acosx - (sin2bx)/x voor x$<$0
= x3 -3bx2 + x + c voor 0$\le$x$\le$2
= (2arctan(1/2px - 1) - 1/2ˇ$\pi$)/x-2 voor x$>$2

en f is continu op $\mathbf{R}$, waarbij op interval $<$0,2$>$ een buigraaklijn evenwijdig met lijn y = -2x+3, bereken dus a, b, c en p...

Als 1ste heb ik uitgerekend:

lim x links van 0 acosx - (sin2bx)/x = lim x rechts van 0 x3 -3bx2 + x + c

aˇ1 - 1 ˇ 2 ˇ b = c
a - 2b = c

Ik heb nl.de limiet van links zowel rechts van 0 aan elkaar gelijkgesteld, maar nu zit ik met het uitwerken van het volgende :

lim x]2 x3 -3bx2 + x + c = lim x rechts 2 (2arctan(1/2px - 1) - 1/2ˇ$\pi$)/x-2

buigraaklijn zijn r.c. is -2 dus : (x3 -3bx2 + x + c)ˇ=
3x2-6bx+1 = -2
3x2-6bx+3 = 0

Buigraaklijn raakt in 1 punt dus b2-4ac = 0
(-2b)2-4ˇ1ˇ1 = 0
4b2-4 = 0
b2 = 1
b= -1 V b= 1

lim x rechts van 2 (2arctan(1/2px - 1) - 1/2ˇ$\pi$)/x-2
1/2px - 1 = 1
1/2px = 2
x = 2, 1/2pˇ2 = 2
p = 2

Maar hoe moet ik die arctan limiet verder oplossen, ik zit hiermee vanwege het deel x-2, omat x = 2 een moeilijk punt is.

Zou u me kunnen uitleggen hoe ik deze arctan limiet kan uitrekenen door het deel x-2 te elimineren ?

Bij voorbaat dank ik u voor uw hulp,

Radjan.

Radjan
Ouder - maandag 30 oktober 2017

Antwoord

Het gaat dus om deze limiet
$$
\lim_{x\downarrow2}2\frac{2\arctan(\frac12px-1)-\frac12\pi}{x-2}
$$
daar kunnen we ook
$$
\lim_{x\downarrow2}4\frac{\arctan(\frac12px-1)-\frac14\pi}{x-2}
$$
van maken.
Om de limiet een kans van bestaat te geven moet de limiet van de teller gelijk zijn aan $0$ en wegens de continuīteit van de $\arctan$ komt dat inderdaad neer op de eis $\frac12\cdot p\cdot2-1=1$, ofwel $p=2$. Dan houden we over
$$
\lim_{x\downarrow2}4\frac{\arctan(x-1)-\frac14\pi}{x-2}
$$
Substitueer even $u=x-1$, dan komt er
$$
\lim_{u\downarrow1}4\frac{\arctan u-\frac14\pi}{u-1}
$$
en daar staat de afgeleide van de arctangens in $1$ (vermenigvuldigd met $4$).
De afgeleide van $\arctan u$ is $1/(1+u^2)$; met $u=1$ wordt dat $\frac12$ en daarmee is onze limiet gelijik aan $2$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 30 oktober 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker