De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

F-invariante deelruimtes

Hoi!

Voor lineaire algebra wil ik laten zien dat er voor een nilpotent endomorfisme f van een 3-dimensionale vectorruimte V oneindig veel f-invariante deelruimtes zijn, dan en slechts dan als f2=0. Ik weet al dat er vier veschillende Jordannormaalvormen zijn, waarvan 3 voldoen aan f2=0 en 1 niet, maar ik kom niet verder. Kan iemand me daarme verder helpen?

Naomi
Student universiteit - vrijdag 20 oktober 2017

Antwoord

Hallo, Naomi.

Er is een basis a,b,c waarop de matrix van f een Jordanvorm heeft.
Heb je al bedacht welk gevolg het nilpotent zijn van f heeft voor de elementen op de diagonaal van de Jordanmatrix?
Je houdt nu inderdaad vier mogelijke Jordanmatrices over, en inderdaad geldt bij precies drie van deze vier dat f2 = 0.
Bij een van deze drie is elke deelruimte f-invariant, bij de andere twee wordt ofwel elke lineaire combinatie van a en c op 0 afgebeeld ofwel elke lineaire combinatie van a en b, en dan zijn er dus ook oneindig veel eendimensionale f-invariante deelruimten.
Rest je nog te bewijzen dat bij de Jordanmatrix waarbij niet f2 = 0 geldt, er niet oneindig veel f-invariante deelruimten zijn.
Hint: werkend op basis a,b,c, kun je berekenen welke f-invariante deelruimtes van een bepaalde dimensie er zijn (onderscheid vier gevallen).
Als het niet lukt, moet je nog maar eens vragen, en laten zien hoever je al gekomen bent.

hr
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 23 oktober 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker