De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Harmonische trilling

Hallo,

Ik heb een aantal vragen en hoop dat u me daarbij kunt helpen:

1) Ik moest namelijk een formule opstellen in de vorm u = bsin(ct-d). Gegeven is de amplitude 10, frequentie 3 Hz en op t=1/30 wordt de evenwichttstand stijgend gepasseerd.
Ik snapte eigenlijk niet waar het laatste deel, die t=1/30 nodig is? In de theorie stond er dat de algemene formule voor u = bsin(c(t-t0)) Op t=t0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. Ik snapte al niet wat er met die info bedoeld werd, want wat is t=t0 en dat passeert de evenwichttstand, ik kan er tenminste geen beeld bij schetsen?

Ik dacht als bij t=1/30 de evenwichttstand wordt gepasseerd, dat 1/30 = d? Maar uit het antwoordenboek blijkt dat niet zo te zijn, want daar zeggen ze op t= 1/30 gaat stijgend door de evenwichtsstand, dus 1/30c-d = 0 c= 6$\pi$ dus 1/30 x 6$\pi$ -d = 0 dus d = 1/5$\pi$. Ik snap de berekening wel, maar ik snap niet waarom ze 1/30 keer c doen? En dat 1/30 niet d is? Want hoe bereken je d überhaupt?

2) Tweede is de projectie van P op de x-as. De vraag is of P'' een harmonische trilling uitvoert en wat daarvan de fomule is. Er werd gegeven dat punt P de bewegingsvergelijkingen: x(t) = bcos(ct) en y(t) = bsin(ct). Ik wist uit een voorgaande vraag maar dat was een projectie op de y-as. En daar was de projectie hetzelfde als de bewegingsvergelijking van de y-as, dus ik dacht dat het in dit geval ook was. Maar er wordt als antwoord gegeven xpn = xp = bcos(ct) = bsin(ct+1/2$\pi$) dus P'' voert een harmonische trilling uit?

Ik snap eigenlijk vrij weinig van dit antwoord, want waarom maken ze van de cosinus de sinus en waaruit concluderen ze dat als ze van de cosinus een sinus hebben gemaakt dat P'' een harmonische trilling is?

3) Mijn laatste vraag is: waarom is de projectie van P op de lijn y = x een harmonische trilling? Ik heb het geprobeerd uit te tekenen, ik heb een cirkel getekend en daar de lijn y=x doorheen getekend, maar ik kom er gewoon niet uit... Ik zie namelijk geen harmonische trilling daaruit ontstaan.

Het zijn een heleboel vragen geworden, maar ik hoop dat u mij hierbij kunt helpen. Heel erg bedankt!

Met vriendelijke groeten,
Anna

Anna
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 7 september 2017

Antwoord

Je moest deze vorm maken: $u=b\cdot\sin(ct-d)$ en het boek schrijft dat als $u=b\cdot\sin(c(t-t_0))$. Het verband tussen die twee is dat $d$ gelijk is aan $ct_0$. In de formule geeft $b$ de amplitude, dus $b=10$, het getal $c$ bepaalt de frequentie, die is dan $c/(2\pi)$ en omdat dit gelijk moet zijn aan $3$ moet $c=6\pi$ gelden. Nu moet je de grafiek van die sinus no naar links of recht schuiven opdat hij op het juiste moment omhoog door het evenwicht gaat. Dat juiste moment is het tijdstip $1/30$. Als je naar beide formules kijkt betekent dat dat je na invullen van $t=1/30$ op $\sin 0$ uit moet komen. Dus moet $c/30-d=0$ of $c(1/30-t_0)=0$; in het eerste geval volgt $d=c/30=\pi/5$, in het tweede geval volgt $t_0=1/30$. In beide gevallen komt je uit op $u=10\sin(6\pi t-\frac\pi5)$.

Als $P=(b\cos ct, b\sin ct)$ op de $x$-as projecteert krijg je $x=\cos ct$, toch? Daar wordt met een gonioformule $b\sin(ct+\frac\pi2)$ van gemaakt om naar de standaardvorm uit de eerste som toe te werken. Omdat je die standaardvorm kunt maken is het een harmonische trilling.

Nu moet je $P=(b\cos ct, b\sin ct)$ op de lijn $y=x$ projecteren. Algemeen, als je een punt $(p,q)$ op die lijn projecteert krijg je $(\frac12(p+q),\frac12(p+q))$, dat kunt je ook schrijven als $\frac12(p+q)\cdot(1,1)$. Bij de trilling wordt dat $\frac b2(\cos ct+\sin ct)\cdot(1,1)$. De bedoeling is nu dat je $\cos ct+\sin ct$ omschrijft tot zo'n standaardvorm als in de eerste som.


kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 7 september 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker