De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Omgekeerde eigenschap hoogtelijn rechthoekige driehoek

Bewijs volgende stelling: 'Als in een driehoek de hoogtelijn op een zijde middelevenredig is tussen de stukken waarin ze die zijde verdeelt, dan is de driehoek rechthoekig.'

GEGEVEN: driehoek ABC, h is hoogtelijn uit A op [BC], D is snijpunt van h en [BC]. Hoek D is dus 90∑. Ook nog: |BD|/|AD|=|AD|/|DC|

TE BEWIJZEN: Hoek A is 90∑

BEWIJS: Indien je gelijkvormigheid kan aantonen van driehoek ABD en driehoek CAD, dan is hoek A2 = hoek C (ook hoek B = hoek A1) vanwege de definitie van gelijkvormige driehoeken. Dan kan je zeggen dat hoek A1=180∑-hoekD-hoekC=90∑-hoekC (hoekensom driehoek=180∑)
$\Rightarrow$ A1=90∑-A2
$\Rightarrow$ A1+A2=90∑
$\Rightarrow$ A=90∑

Ik heb echter moeite met het vinden van een derde evenredigheid van lijnstukken (Z/Z H Z/Z). Je hebt D=D=90 en de gegeven evenredigheid, maar wat neem je als derde?

Thibau
Student Hoger Onderwijs BelgiŽ - zaterdag 19 augustus 2017

Antwoord

Je hebt als gegeven dat $BD:AD=AD:DC$, dat kun je ook schrijven als
$$
BD=\frac{AD}{DC}\cdot AD
$$
er geldt natuurlijk ook dat
$$
AD=\frac{AD}{DC}\cdot DC
$$
Pas nu de stelling van Pythagoras toe:
$$
AB^2=BD^2+AD^2 = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2(AD^2+DC^2) = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2\cdot AC^2
$$
en daar is je derde evenredigheid.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 19 augustus 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker