De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Verschalingen en verschuivingen van grafiek

Weet iemand of mijn uitkomsten bij onderstaande oefening juist kunnen zijn?

De functie g is een lineaire transformatie van de functie f door:

1) een verticale verschuiving d naar boven
2) een verticale verschaling met factor a
3) een horizontale verschaling met factor 1/b
4) een horizontale verschuiving -c naar rechts

q84908img1.jpg

1. Schrijf de algemene gedaante van het voorschrift van g in functie van f.
2. Bepaal de waarde van a, b, c en d.

Ik heb: A = 1/2, B = 5/2, C= -5/2 en D = 1
Alvast bedankt

jonath
Student Hoger Onderwijs België - maandag 14 augustus 2017

Antwoord

Hallo Jonathan,

Om misverstand te voorkomen, ga ik eerst nog even in op het belang van de volgorde bij translaties. Onderstaande figuur geeft het resultaat weer van transformaties bij een cirkel:
- In de bovenste figuur wordt de rode cirkel eerst vermenigvuldigd met 2 (horizontaal en verticaal) en daarna over een afstand 3 naar rechts verschoven.
- In de onderste figuur wordt de rode cirkel eerst over een afstand 3 naar rechts verschoven, daarna volgt een vermenigvuldiging met 2.

q84908img2.gif

In de tweede situatie wordt de verplaatsing mee-vermenigvuldigd, in de eerste situatie niet. Het eindresultaat is verschillend: de vorm van de uiteindelijke figuur is hetzelfde, de positie niet.

Het meest overzichtelijk is -naar mijn idee- om éérst vermenigvuldigingen uit te voeren, en daarna de translaties. Wanneer een functie g het resultaat is van deze transformaties van een functie f, dan is dit het functievoorschrift:

g(x) = p + q(f(r(x-s))

Het 'effect' van p, q, r en s is dan eenvoudig te herkennen:

r schaalt de grafiek in horizontale richting met een factor 1/r
q schaalt de grafiek in verticale richting met een factor q

Hierna:

p verschuift de grafiek naar boven over een afstand p
s verschuift de grafiek naar rechts over een afstand s

Let bij s goed op het min-teken: wanneer je in het voorschrift (x-3) ziet staan, dan is s zelf +3! De bijbehorende verschuiving is 3 naar rechts.

Nu naar jouw vraag:
In horizontale richting: het interval [-1 , 1] wordt afgebeeld op [-5 , 0]. De grafiek is 2,5 keer zo breed, dus 1/r = 2,5
In verticale richting: het interval [-1 , 1] wordt afgebeeld op [0 , 1], maar wel 'ondersteboven' (dus gespiegeld). De grafiek is half zo hoog, dus q=-0,5.

Door deze vermenigvuldigingen blijft de oorsprong op zijn plaats. Om de translaties te bepalen, kijk je op welk punt de oorsprong wordt afgebeeld:
In horizontale richting verschuift de oorsprong van x=0 naar x=-2,5. Dit is een translatie van 2,5 naar links, dus s=-2,5 (Let op: x wordt vervangen door x-s, dus x wordt x+2,5!).
In verticale richting verschuift y=0 (het midden van de grafiek) naar y=0,5. Dit is een translatie van 0,5 naar boven, dus p=0,5.

Het algemene voorschrift van g wordt dan:

g(x) = 0,5 -0,5(f(2/5(x+2,5))

Nu zijn we er bijna: dit voorschrift gaat uit van eerst schalen, daarna de verschuivingen. Maar bij de opgave gaat men in verticale richting uit van eerst verschuiven en dan pas schalen. De verticale verschuiving 0,5 (die volgens de rekenregels bij dit voorschrift als laatste wordt uitgevoerd) moeten we dan binnen de haakjes brengen. We krijgen dan:

g(x) = -0,5(-1 + f(2/5(x+2,5))

Controleer dit door de haakjes weer weg te werken. Volgens de rekenregels wordt de verticale verschuiving van -1 nu uitgevoerd voorafgaand aan de vermenigvuldiging met -0,5. Ga voor jezelf na dat de punten y=-1 en y=1 na verschuiving -1 en vervolgens vermenigvuldiging met -0,5 'terechtkomen' bij y=+1 resp. y=0, dit zie je terug in de grafiek.

We vinden dus:
1. Verticale verschuiving d naar boven: d=-1
2. Verticale verschaling factor a: a=-0,5
3. Horizontale verschaling factor 1/b: 1/b=1/2,5, dus b=2,5
4. Horizontale verschuiving -c naar rechts: de verschuiving is 2,5 naar links, dus -2,5 naar rechts. Blijkbaar is -c=-2,5 dus c=2,5.

Opmerking: op het meegestuurde antwoordvel is c=2,5 fout gerekend. Echter, in horizontale richting gaat de vraag uit van eerst schalen, dan verschuiven. In dat geval is de verschuiving zonder twijfel 2,5 naar links, dus -2,5 naar rechts. Wanneer de verschuiving naar rechts wordt gedefinieerd als -c, dan geldt -c=-2,5 dus c=2,5. Ik kan de (verwarrende) vraagstelling niet anders lezen.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 augustus 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker