De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Taylorpolynoom opstellen bij dv

Bepaal een vierde-orde Taylorpolynoombenadering van de oplossing van het beginwaardeprobleem:

y'' + sin (y) = 0 met y(0) = 1/2pi en y'(0) = 2.

Ik schrijf y'' als sommatie van n=2 tot oneindig van n(n-1)·An · xn-2 en sin(y) als x-x3/3!+x5/5!-... maar dan loop ik vast bij het vinden van de coefficienten van de taylorreeks

y(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 ..

Koen
Student universiteit - woensdag 21 juni 2017

Antwoord

Het is veel werk maar je bent op de goede weg. Je hebt
$$
y=\frac\pi2+2x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots
$$
en $y''$ is als je hebt opgeschreven: $2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots$.
Nu moet je $y$ in die reeks voor de sinus invullen:
$$
2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\cdots+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(2+\frac\pi2x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots)^{2n+1}=0
$$
Nu moet je zorgvuldig uitvermenigvuldigen en gelijke machten bij elkaar nemen.
Als je goed kijk zie dat als je $x=0$ invult er $2a_2+\sin\frac\pi2=0$ komt, dus $a_2$ heb je al.
Daarna hoef je alleen nog met
$$
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\frac\pi2+2x+a_2x^2)^{2n+1}
$$
te werken om $a_3$ en $a_4$ te bepalen.
Je kunt ook met behulp van gonioformules $\sin(\frac\pi2+ 2x+a_2x^2)$ eerst in $\sin\frac\pi2$, $\cos\frac\pi2$, $\sin2x$, $\cos2x$, $\sin a_2x^2$ en $\cos a_2x^2$ uitdrukken en daarvan weer kleine stukjes Taylor nemen.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 22 juni 2017
 Re: Taylorpolynoom opstellen bij dv 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker