De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Gelijke cirkels

Maak een willekeurige driehoek ABC met hoogtepunt P. Bewijs dat de cirkel door A,B en P even groot is als de omgeschreven cirkel van driehoek ABC

Emmy
Student hbo - woensdag 5 april 2017

Antwoord

Hallo Emmy,

We bekijken een driehoek $ABC$ met hoogtepunt $P$. De hoogtelijnen vanuit $A$, $B$ resp. $C$ snijden de overstaande zijde in $D$, $E$ resp. $F$. We spiegelen nu punt $P$ in $F$ en krijgen $P'$. In de figuur is de situatie getekend (met voor het gemak $P$ in het binnenste van de driehoek).

q84234img1.gif

Merk nu op dat $\Delta AFP \sim \Delta ADB$ (hh) en dus $\angle APF = \angle ABC$.
Op dezelfde wijze geldt $\angle BPF = \angle BAC$.

Ook geldt dat $\Delta AFP' \cong \Delta AFP$ en $\Delta BFP' \cong \Delta BFP$ (ZHZ).
Daaruit halen we dat $\angle AP'B = \angle APB = \angle APF + \angle BPF = \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ - \angle BCA$.

Daaruit volgt dat $\angle AP'B + \angle BCA = 180^\circ$ en dus is $ABCP'$ een koordenvierhoek, of anders gezegd, ligt $P'$ op de omgeschreven cirkel van $ABC$.

Merk nu op dat $\Delta APB \cong \Delta AP'B$ en dat hun omgeschreven cirkels dus even groot zijn. En we zijn rond.

Met vriendelijke groet,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 april 2017
 Re: Gelijke cirkels 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker