De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Integreren van goniometrische functies

 Dit is reactie op vraag 84046 
Primitiveren van 1/sin4(x) gaat veel eenvoudiger als volgt:

1/sin4(x) = (sin2(x) + cos2(x))/sin4(x)
1/sin4(x) = 1/sin2(x) + cot2(x)/sin2(x)

Bedenk nu dat

d(cot(x))/dx = -1/sin2(x)

en je kunt direct zien dat de primitieven zijn

-cot(x) - 1/3Ěcot3(x) + C

Ripari
Iets anders - zondag 12 maart 2017

Antwoord

Dat werkt ook.
Voor hogere machten van $\sin x$ gaat partiele integratie iets gladder:
$$
\int\frac1{\sin^nx}\cdot\frac1{\sin^2x}dx = -\frac{\cot x}{\sin^nx} - n\int\frac1{\sin^{n+2}x}dx + n\int\frac1{\sin^nx}dx
$$
ofwel
$$
(n+1)\int\frac1{\sin^{n+2}x}dx = -\frac{\cot x}{\sin^nx} + n\int\frac1{\sin^nx}dx
$$
Op die manier kun je alles terugbrengen tot de primitieven van $1/\sin^2x$ en $1/\sin x$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 maart 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker