De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Tussenwaardestelling

Hallo,

Ik heb een vraag over de tussenwaardestelling i.v.m. continuiteit. Deze stelling staat gedefinieerd van R $\to$ R, maar is het ook mogelijk om deze toe te passen op bijvoorbeeld R2 $\to$ R of R3 $\to$ R2?
Volgens mij moet dit wel mogelijk zijn maar hoe doen we dit dan juist?

Alvast bedankt!
Mvg

Björn
Student universiteit België - woensdag 18 januari 2017

Antwoord

Het kan, maar je raakt het `tussen' in de tussenwaardestelling een beetje kwijt. De algemene vorm is: als $A$ een samenhangende deelverzameling van $\mathbb{R}^n$ is en $f:A\to\mathbb{R}$ is continu dan is het beeld $f[A]$ een interval en dus, als $a,b\in A$ en $f(a) $<$ f(b)$ dan ligt het interval $[f(a),f(b)]$ geheel binnen $f[A]$. Met andere woorden als $p$ tussen $f(a)$ en $f(b)$ ligt dan is er een $x\in A$ met $f(x)=p$. Maar je kunt niet makkelijk zeggen dat zo'n $x$ `tussen' $a$ en $b$ ligt want dat betekent niet zoveel binnen een (willekeurige) deelverzameling van $\mathbb{R}^n$.

Voor functies naar $\mathbb{R}^2$ (en hogere machten) kun je in ieder geval zeggen dat het beeld $f[A]$ samenhangend moet zijn, maar, zoals hierboven, het begrip `tussenwaarde' heeft dan minder betekenis.

De definitie van samenhang is niet moeilijk maar je moet er toch even voor gaan zitten. Begin met de link hieronder en bekijk ook de Engelse pagina, die heeft veel meer voorbeelden.

Zie Wikipedia: samenhang

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 18 januari 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker