De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Raaklijn aan hyperbool is bissectrice brandpuntrechten

Hoe kan ik aantonen dat voor een willekeurig punt P op de hyperbool met vergelijking (x2/a2) - (y2/b2) = 1, de raaklijn aan de hyperbool in dat punt P, ook de bissectrice is van de hoek gevormd door de 2 rechten vanuit P naar elk van de brandpunten F2 (-c,0) en F1 (c, 0).

Jani V
3de graad ASO - zondag 4 december 2016

Antwoord

Dag Jani,

Staat dat bewijs niet in je leerboek?
Hier volgt het bewijs dat de bissectrice tevens raaklijn is (het 'omgekeerde' van wat jij vraagt).

q83425img1.gif

Kies P op de rechter tak van de hyperbool (dat stoort het bewijs verder niet).
Maak PQ = PF1 met Q op PF2.
Dan is: F2Q = PF2 - PQ = PF2 - PF1 = (definitie hyperbool) 2a
De lijn l is de bissectrice van hoek F1PF2.
Kies R (willekeurig) op l, niet samenvallend met P.
Dan is RF1 = RQ (congruente driehoeken; ZHZ).
In driehoek F2RQ is RF2 - RQ $<$ F2Q (driehoeksongelijkheid).
Of: RF2 - RF1 $<$ F2Q
Of: RF2 - RF1 $<$ 2a
Dan blijkt dat R niet op de hyperbool ligt (erbuiten). En dat is dus het geval met alle punten van de lijn l (behalve P).
Dus l, de bissectrice, is raaklijn aan de hyperbool.

Via onderstaande link vind je een handgeschreven analytisch bewijs.

Zie Een ander bewijs van de eigenschap

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 december 2016



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3