De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Re: Getal van Euler

 Dit is een reactie op vraag 82983 
Dank voor de reactie! Dan heeft mijn docent een fout genoteerd...

Zou ik nog mogen vragen hoe we makkelijk kunnen aantonen dat lim (x $\to$ oneindig) ((1+(1/x))x) = e

Mag je een limiet naar oneindig invullen? Dan bekom je (1+0)^oneindig = 1.

Lene
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 29 september 2016

Antwoord

`Oneindig invullen' mag eigenlijk nooit want, zoals je zelf laat zien, dat geeft nogal vaak een fout antwoord, zeker als je door $\infty$ deelt of $\infty$ in een exponent hebt staan.

Aantonen dat de limiet klopt is lastig of niet. Het hangt er van af hoe $e$ is gedefinieerd. In sommige boeken is de limiet gewoon de definitie van $e$, dus dan lijkt er niet veel te bewijzen, behalve dan dat de limiet bestaat. Dat kost wat moeite maar je kunt aantonen dat $(1+\frac1x)^x$ een stijgende functie is waarvan de waarden onder $3$ blijven, en daaruit volgt dat de limiet bestaat.

Als $e^x$ en $\ln x$ al bekend zijn kun je naar $\ln(1+\frac1x)^x=x\ln(1+\frac1x)$ kijken. Je kunt $\frac1x$ een andere naam geven, $u$ bijvoorbeeld en dan krijg je
$$
\lim_{x\to\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right) = \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}
$$
De laatste limiet is gelijk aan $1$ want het is eigenlijk de afgeleide van $\ln u$ in het punt $1$; en die afgeleide heeft waarde $1$.
Maar dan volgt
$$
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x = e^1
$$

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 29 september 2016
 Re: Re: Re: Getal van Euler 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3