WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren

Is het mogelijk deze drie integralen analytisch op te lossen?
Integraal x=0 - x=L

c₁ ( f(x) )^-1 dx – c₂ ( f(x) )^c₃ dx
Waarbij:
1) f(x)=a₁
2) f(x)= a₂ + a₃ x
3) f(x)= a₄ + a₅ x + a₆ x²
Oftewel:
c₁ ( a₁ )^-1 dx – c₂ ( a₁ )^c₃ dx
c₁ (a₂ + a₃ x)^-1 dx – c₂ (a₂ + a₃ x)^c₃ dx
c₁ (a₄ + a₅ x + a₆ x²)^-1 dx – c₂ (a₄ + a₅ x + a₆ x²)^c₃ dx
Dus:
Integraal x=0 - x=L c₁ ( a₁ )^-1 dx – c₂ ( a₁ )^c₃ dx
Integraal x=0 - x=L c₁ (a₂ + a₃ x)^-1 dx – c₂ (a₂ + a₃ x)^c₃ dx
Integraal x=0 - x=L c₁ (a₄ + a₅ x + a₆ x²)^-1 dx – c₂ (a₄ + a₅ x + a₆ x²)^c₃ dx
Integreren

LIselo
Student hbo - donderdag 12 mei 2016

Antwoord

Ik neem aan dat alle $a$tjes en $c$tjes constanten zijn, in dat geval is de eerste integraal atijd te doen: constante functies zijn integreerbaar.
De tweede ook: $\int_0^L\frac{c}{a+bx}\,\mathrm{d}x$ levert een logaritme en $\int_0^L c_1(a+bx)^{c_2}\,\mathrm{d}x$ levert een logaritme als $c_2=-1$ en $\frac{c_1}{bc_2}(a+bx)^{c_2+1}$ als $c_2\neq-1$. Dat volgt allemaal uit bekende formules voor afgeleiden/primitieven.
De derde is wat bewerkelijker, bij
$$
\int_0^L \frac{c_1}{a+bx+cx^2}\,\mathrm{d}x
$$
heb je twee gevallen: als de noemer ontbindbaar is door middel van breuksplitsing en anders via een arctangens.
Bij
$$
\int_0^L c_1(a+bx+cx^2)^d\,\mathrm{d}x
$$
hangt het van $d$ af: als $d$ geheel is lukt het omdat de functie rationaal is.
Bij sommige rationale waarden van $d$ gaat het ook nog wel maar de formules worden ingewikkeld (programma's als Maple of een site als wolfram alpha bieden dan nog wel soelaas). Maar als $d$ irrationaal is, zeg $d=\sqrt2$ of $d=\pi$ dan is er waarschijnlijk zeer weinig mee te doen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 16 mei 2016

Re: Integreren