De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Stelling regelmatige n-hoek

Herinner je nog iemand die een stelling had die zei dat de verhouding van een cirkel tegenover zijn ingeschreven vierkant constant is, namelijk /2.
Dit geldt voor een vierkant, maar dat is het dan ook maar, en het bleef bij "het is leuk om weten".
Ik heb gezoch en heb mij los van het vierkant gezet en met een ingeschreven regelmatige 3-hoek gaan werken.
Dat was iets moeilijker, maar je weet wel dat de middelpuntshoek 120° is bij een driehoek.
Dus je weet de straal, je weet een hoek én je kan de stelling van Pythagoras toepassen.
De oppervlakte van een driehoek is (basis·hoogte)/2.
Dus moet ik de hoogtelijn berekenen, ik heb het voor jou gedaan, de hoogtelijn is 3/2 en de basis 3. Dus de oppervlakte is gelijk aan ((3/2)·3))/2.
Je komt op een bepaald getal uit. het speelt niet echt een grootte rol.
Analoog doen we dit ook bij een vijfhoek, een zes-, enz. ...
Ik ben tot de constatatie gekomen dat er een algemene formule bestaat voor een regelmatige veelhoek.
Hoe bekenen je de oppervlakte van een regelmatige veel hoek?
Eenvoudig, S stelt de oppervlate voor en n = het aantal hoeken in n-hoek.
Sn=sin (360)/n)· n/2
natuurlijk de voorwaarde is dat de afstand van elk hoekpunt tot aan het middelpunt van de regelmatige - hoek 1 is.
Als dit niet zo is; dan is het geen probleem denk ik dan is het gewoon n· de afstand van de hoekpunten tot het middelpunt, niet?
als het nu een driehoek en de afstand tussen de twee voorgaande is bv. 2
dan wordt de formule herschreven waarbij a de afstand van de hoekpunten tot het middelpunt is.
- (Sn/a)=sin(360)/n)·(n/2).
Dit is een stelling die voortvloeit uit de stelling (van mij) van de oppervlakte van de cirkel en zijn ingeschreven vierkant, waarbij we nu de cirkel niet meer nodig hebben.
Daarmee waren we niet zoveel, maar ik kan me best voorstellen dat dit een zeer handige formule is, niet?
Zo wie, wie heeft ze voor het eerst ontdekt, en zoja (wat me waarschijnlijk lijkt) wie?
En als het niet zo is, kan de stelling dan op mijn naam komen?
Hoe wordt deze formule in het dagelijks leven gebruikt?
En waarom is het dan zo?
Dank je,
Ruben

Ruben
2de graad ASO - woensdag 12 februari 2003

Antwoord

Hoi,

Je kan best eens zien op Oppervlakte regelmatige n-hoek. Ik weet enkel dat de Grieken (en misschien nog oudere volken) regelmatige veelhoeken gebruiken om de omtrek en oppervlakte van een cirkel te benaderen.

De oppervlakte van een regelmatige n-hoek in een cirkel met straal r is Sn=1/2.n.r2.sin(2p/n). De oppervlakte van de cirkel is p.r2. De ratio waar je het over hebt: rn=2p/n.sin(2p/n). Voor n®¥ gaat die inderdaad naar 1.

Je kan misschien ook eens bekijken wat er gebeurt met de regelmatige n-hoeken die omgeschreven zijn aan de gegeven cirkel met straal r...

Ook interessant is eens te bestuderen welke regelmatige n-hoeken je met passer en lineaal kan construeren... Hier zal je zeker de naam Gauss ontmoeten. Hij ontdekte dat bepaalde soorten priemgetallen hierin een rol spelen...

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 februari 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3