De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

De isoperimetrische ongelijkheid

Beste meneer/mevrouw,
In het boekje van O. Bottema gaat hij van O=1/2ad sin (A) + 1/2 bc sin(C)
en b2 + c2 - 2 bc cos (C) = a2 + d2 - 2 ad cos (A)

naar
16 O2 = 4a2d2 + 4b2c2 - (a2+d2 - b2 - c2)2 -8 abcd cos (A+C)

Kunt u mij hier verder mee helpen?
Vriendelijke Groet,
Anne Barneveld

Anne
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 oktober 2014

Antwoord

Schrijf $16O^2$ uit:
$$
16O^2=4(a^2d^2\sin^2A+b^2c^2\sin^2C+2abcd\sin A\sin C)
$$
dan gebruik je $\sin^2x+\cos^2x=1$ om $\sin^2A$ te vervangen door $1-\cos^2A$, en $\sin^2C$ door $1-\cos^2C$. Dan komt er
$$
16O^2=4(a^2d^2+b^2c^2-(a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C)+2abcd\sin A\sin C)
$$
De toepassing van de cosinusregel kun je omschrijven als
$$
2(ad\cos A-bc\cos C)=a^2+d^2-(b^2+c^2)
$$
Ten slotte, met behulp van
$$
(ad\cos A-bc\cos C)^2=a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C-2abcd\cos A\cos C
$$
volgt dat
$$
a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C = \frac14(a^2+d^2-b^2-c^2)^2+2abcd\cos A\cos C
$$
Als je dat netjes invult en de optelformule voor de cosinus gebruikt krijg je de derde formule.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 15 oktober 2014



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3