WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Fibonacci via Z-transformatie

De rij f(n) voldoet aan f(n+2)=f(n+1)+f(n) , f(0)=0 en f(1)=1

1)Stel een formule op voor het Z-beeld van de rij f(n+k), k een element van de natuurlijke getallen, als functie van onder meer het Z-beeld van f(n).

2) Gebruik het bekomen resultaat om expliciet de termen f(n) van de gegeven rij te bepalen.

Ik heb vooral moeite met één, als ik dit zou vinden kan ik via een inverse Z-transformatie f(n) bepalen, maar ik weet niet hoe ik aan het Z-beeld van de rij f(n+k) kom...

Het Z-beeld van f(n) heb ik wel kunnen bepalen, dit is F(z)=z/(z-((1-sqrt(5))/2))*(z-((1+sqrt(5))/2))

Kan iemand me hierbij helpen?

Alvast bedankt!
Dries
Student universiteit België - vrijdag 3 januari 2014

Antwoord

Kijk naar de som en manipuleer met de machten:
$$
\sum_{n=0}^\infty f(n+k)z^n = \frac1{z^k}\sum_{n=0}^\infty f(n+k)z^{n+k} = \frac1{z^k}\sum_{n=k}^\infty f(n)z^n
$$
Nu staat er
$$
\frac1{z^k}\left(F(z)-\sum_{n=0}^{k-1}f(n)z^n\right)
$$
Om die tweede som uit te werken heb je toch een formule voor de $f(n)$ nodig.

Ik zou breuksplitsen: schrijf even $\alpha=\frac12-\frac12\sqrt5$ en $\beta=\frac12+\frac12\sqrt5$. Dan heb je, zo te zien, $F(z)=\frac{z}{(z-\alpha)(z-\beta)}$. Schrijf dit als
$$
F(z)=\frac{A}{z-\alpha}+\frac{B}{z-\beta}
$$
en bepaal daaruit $A$ en $B$. Verder kun je $\frac1{z-\alpha}$ naar een meetkundige reeks toewerken (en $\frac1{z-\beta}$ natuurlijk ook):
$$
\frac1{z-\alpha}=\frac{-1}{\alpha} \cdot \frac1{1-\frac z\alpha} =
\frac{-1}{\alpha}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac z\alpha\right)^n
$$
NB verder kun je goed gebruik maken van dingen als $\alpha+\beta=1$ en $\alpha\beta=-1$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 3 januari 2014

Re: Fibonacci via Z-transformatie