WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs volledige inductie

Hallo, ik moet als opdracht het volgende bewijzen d.m.v. volledige inductie:

diag(3, -4, 0, 2)]^n = diag (3^n, (-4)^n, 0, 2^n)

Als ik het goed heb is dit een diagonaalmatrix dus:

[ 3 0 0 0 ]^n = [ 3^n 0 0 0 ]
[ 0 -4 0 0 ] [ 0 (-4)^n 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 2 ] [ 0 0 0 2^n ]

De determinant van een diagonaalmatrix is het product van de getallen op de diagonaal dus:

(3*(-4)*0*2)^n = (3^n*(-4)^n*0*2^n)

Dit geldt toch voor alle n aangezien 0 het opslorpend element is? (altijd 0=0)
Maar toch denk ik dat ik iets fout doe, zie jij wat?

Alvast bedankt!
Anonie
3de graad ASO - zondag 22 januari 2012

Antwoord

Beste Anoniem (?),

Wat je zegt is niet fout, maar ook niet gevraagd. Die determinant zal altijd 0 zijn, maar er is niets over die determinant gevraagd. Wat je moet bewijzen is dat voor elke n het volgende geldt:
$${\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & { - 4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3^n}} & 0 & 0 & 0 \\
0 & {{{\left( { - 4} \right)}^n}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & {{2^n}} \\
\end{array}} \right)$$
Via inductie gaat dat als volgt:
- controleer de gelijkheid voor n = 1 (ga na, dat klopt eenvoudig),
- veronderstel dat de gelijkheid geldt voor een zekere n,
- bewijs dat de gelijkheid dan ook geldt voor n+1.

Met andere woorden, ga uit van de gelijkheid die ik hierboven al gaf voor een vaste n en bepaal dan Aⁿ⁺¹ als matrixproduct A.Aⁿ waarbij je voor Aⁿ het rechterlid in bovenstaande gelijkheid kan gebruiken.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 22 januari 2012