De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Re: Directe en recursieve formule

 Dit is een reactie op vraag 66456 
Hallo,
Ik ben nu bezig met de eigenschappen van de fibonaccigetallen.
Wat betekent ån, i=0 iFi? Ik snap het Engels wat op http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number staat (fourth identity) niet zo goed, dus snap ook niet zo goed waar de vierde eigenschap over gaat. En dus ook niet hoe ik hem moet bewijzen.

Rikje
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 9 januari 2012

Antwoord

Het gaat om:

$
\sum\limits_{i = 0}^n {iF_i } = nF_{n + 2} - F_{n + 3} + 2
$

Aan de linker kant staat:

$
\eqalign{
& \sum\limits_{i = 0}^n {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + ... + nF_n \cr
& Voorbeelden: \cr
& \sum\limits_{i = 0}^0 {iF_i } = 0 \cdot 0 = 0 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^1 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^2 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^3 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 9 \cr
& \sum\limits_{i = 0}^4 {iF_i } = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 21 \cr
& ... \cr}
$

Aan de rechter kant:

$
\eqalign{
& n = 0:0 \cdot F_2 - F_3 + 2 = - 2 + 2 = 0 \cr
& n = 1:1 \cdot F_3 - F_4 + 2 = 2 - 3 + 2 = 1 \cr
& n = 2:2 \cdot F_4 - F_5 + 2 = 6 - 5 + 2 = 3 \cr
& n = 3:3 \cdot F_5 - F_6 + 2 = 15 - 8 + 2 = 9 \cr
& n = 4:4 \cdot F_6 - F_7 + 2 = 32 - 13 + 2 = 21 \cr
& ... \cr}
$

Dat lijkt te kloppen. Bewijzen doe je met volledige inductie. Probeer dat nog maar even!

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 januari 2012



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3