WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De gulden snede

Is het mogelijk om in gewone taal uit te leggen hoe de gulden snede berekend kan worden? Ik heb op internet talloze uitleggingen gelezen maar geen enkele daarvan is duidelijk. Met name bij het punt waarop het kruislings vermenigvuldigen begint gaat het mis! Degene die dit onverklaarbare raadsel uit kan leggen krijgt van mij een dikke pluim.

(Aanvullende informatie na verzoek:
Het begrip 'Gulden Snede' op zich is duidelijk. Een punt (bijv. P) op een lijn A-B dat op een bepaalde plek op die lijn ligt is de gulden snede. Dat is duidelijk. Bijvoorbeeld: als van een lijn A-B de lengte 10 is en het punt P de gulden snede dan begrijp ik dat PB zich verhoudt tot AP als AP tot AB.

Ik las daarna het volgende: AP = x, PB=10-x en AB=10.

Door kruislings te vermenigvuldigen krijg je dan (10-x).10 is gelijk aan x.x. De punten er tussen staan dan symbool voor het keerteken volgens mij. Dat is op zich best heel duidelijk en logisch eigenlijk.

Maar dan gaat het mis bij mij. Er staat dan het volgende: 100-10x=x2 (kwadraat?). Van deze formule begrijp ik niet veel. Ik begrijp bijv. niet waar ineens die 100 vandaan komt (10-x.10 kan volgens mij nooit honderd zijn). Voorts begrijp ik niet waar die 10x vandaan komt (ik zie wel 10 MIN(!) x staan). Daarna gaat de berekening verder en staat er x2 + 10x - 100 = 0 waarna het eindresultaat is dat x=6,18033.

Ik heb het even letterlijk overgetypt omdat ik hier niets van begrijp. Of zou ik eerst een aantal jaren wiskunde moeten studeren om dit te kunnen begrijpen? Hopelijk ben ik een beetje duidelijk zo.
Geert
Ouder - woensdag 5 oktober 2011

Antwoord

Je bent zover gekomen dat het verdelen van een lijnstuk van 10 cm in twee stukken met lengtes x en (10-x) volgens de Gulden Snede uitgedrukt kan worden met de vergelijking:

Kruislings vermenigvuldigen (en het besef dat x.x = x²) levert:

10.(10-x) = x²

Hierna loop je vast met algebra. Ik geef stapsgewijs aan hoe x met behulp van algebra-regels kan worden berekend:

We moeten links nu de haakjes wegwerken. Het volgende getallenvoorbeeld illustreert hoe dit gaat:

Stel, in een zakje zitten 10 snoepjes. Je koopt 10 zakjes. Je hebt dan 10.10 = 100 snoepjes.
Echter, door een verpakkingsfout zitten in elk zakje 3 snoepjes te weinig. In werkelijkheid koop je dus:

10.(10-3) = 10.7 = 70 snoepjes.

Je kunt dit ook zo bekijken:

Je zou moeten hebben: 10.10 = 100 snoepjes
Je hebt te weinig: 10.3 = 30 snoepjes
Je krijgt dus: 10.10 - 10.3 = 100 - 30 = 70 snoepjes.

Conclusie: 10.(10-3) is hetzelfde als 10.10 - 10.3

Op dezelfde schrijven we in onze formule:

10.(10-x) = 10.10 - 10.x = 100 - 10.x

Onze formule wordt dan:

100 - 10.x = x²

Voor de overzichtelijkheid schrijf ik het andersom:

x² = 100 - 10.x

Links en rechts tel ik er 10.x bij op:

x² + 10.x = 100

Links en rechts trek ik er 100 af:

x² + 10.x - 100 = 0

Ik heb nu een standaard-formule van deze vorm:

a.x² + b.x + c = 0 met: a=1 b=10 en c= -100

Om dit op te lossen, bestaat de volgende beroemde abc-formule:

Zie Afleiden van de abc-formule

Netjes invullen van juiste waarden voor a, b en c (let op de min-tekens!) levert:
x=6,180....

(Wiskundig is er een tweede oplossing: dezelfde formule, maar een min-teken op de plaats van het plus-teken. Dit levert een negatieve x op, deze oplossing heeft voor deze vraag geen betekenis).

GHvD

GHvD

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 oktober 2011

Re: De gulden snede