WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Herschrijven functie

Vind domein(D) en bereik(R) van:

g(x)=¹/_{1-$\sqrt{ }$(x-2)}

Aangezien delen door nul niet mag en dus x≥3 is uitgesloten en $\sqrt{ }$-x ook niet gaat moet dus x=2 wordt het domein
(2,3)union (3,+oneindig)

Het bereik bepalen was mij echter niet gelukt de uitwerkingen herschreven de functie als

y=g(x)

x=2-(1-(¹/_y))x²

Hoe komen tot deze notatie?

Bvd. Reinier
Reinie
Student hbo - zondag 10 juli 2011

Antwoord

Dag Reinier,

Het domein wordt inderdaad, zoals je al gevonden hebt: [2, 3$>$ $\cap$ $<$3, $\to>$... Er is dus iets vreemds aan de hand bij x=3

Hoe in de uitwerkingen de functie is herschreven, dat klopt niet. Schrijf uit jou laatst genoemde vergelijking x=2-(1-(1/y))x², de y maar eens vrij. Je komt niet op het zelfde uit als waar je mee begonnen was: y=1/(1-$\sqrt{ }$(x-2)).

Zonder gebruik te maken van de grafiek, zou je kunnen kijken naar de afgeleide van g(x). Waar deze afgeleide g'(x) = 0, geldt dat er een maximum of minimum aanwezig is in de originele functie g(x). Met een eventueel max en min heb je het bereik dus afgebakend. De volgende stap zou zijn om te controleren of de bijbehorende x-waarden (bij het max en min) geldige x-waarden zijn als je kijkt naar je eerder gevonden Domein.

Als ik kijk naar de afgeleide van g(x), dan krijg ik:
g'(x)=1/(2·$\sqrt{ }$(x-2)·(1-$\sqrt{ }$(x-2))²)

Deze g'(x) wordt nooit gelijk aan 0 (het is een breuk met een positieve constante als teller). Er zijn in g(x) dus geen maxima of minima. Sterker nog: g'(x) is in dit geval altijd positief (groter dan 0) ... (Waarom?) $\to$ Dat betekent dat g(x) altijd blijft stijgen (voor zover hij bestaat).

Vul nu de kleinste x-waarde in die je kunt invullen (uit je gevonden domein, x=2). Daar komt een y-waarde uitrollen van g(2)=1. Kennelijk zal de functie g(x) vanaf dat moment altijd blijven stijgen. Dus het Bereik van de functie g(x) is R=[1, $\to>$.

Maar schijn bedriegt: Er was iets vreemds aan de hand bij x=3, deze kon je niet invullen, maar net iets kleiner of net iets groter dan x=3 blijkbaar wel. Als we kijken wat er gebeurt als we x=2,999 en x=3,001 invullen, zien we het volgende gebeuren bij de functiewaarde:
g(2,999)=1999,4999 (zeer groot dus $\to$ lees oneindig groot)
g(3,001)=-2000,5 (zeer klein dus -$\to$ lees oneindig klein)

Als het bereik is aangekomen bij +oneindig (net vóór x=3), springt het bereik over naar -oneindig (net ná x=3). Van daaruit zal hij kennelijk weer stijgen, want de afgeleide is altijd positief. De vraag is nu nog tot hoever de functiewaarden vervolgens stijgen. Dat kunnen we controleren door verschillende zeer grote waarden voor x in te vullen en kijken waar het naartoe neigt te gaan (ofwel een limiet van x naar oneindig toepassen op de functie g(x)). Als je bij voorbeeld de waarden x=10000, x=99999 en x=99999999 invult, dan zul je zien dat de functiewaarden (y-waarden) net niet tot de 0 komen (ze blijven er steeds net onder liggen).

Het bereik van de functie wordt dus: R=[1, $\to>\cap<\leftarrow$,0$>$

Een hele lap tekst voor een relatief eenvoudig antwoord. Hopelijk heb je er iets aan.

Mvg Thijs Bouten

Ps: een schets van de grafiek maken helpt vaak om een sneller inzicht te krijgen, maar ik was in de veronderstelling dat je die niet zou mogen gebruiken.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 11 juli 2011