De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Ingeschreven cirkel

Hallo,
Ik moet voor een onderzoeksopdracht een bewijs formuleren dat de ingeschreven cirkel van een pythagorasdriehoek een geheel getal is. Ik vind hier niets van op internet enkel dit

Het probleem: bepaal alle Pythagoras driehoeken waarvan de straal van de ingeschreven cirkel een positief natuurlijk getal n is

Oplossing.
Een bekend resultaat:
Alle Pythagoras driehoeken met zijden a, b en c en a2 + b2 = c2 kunnen worden geparametriseerd met positieve natuurlijke getallen u en v (u v), zodat a = u2 - v2, b = 2uv en c = u2 + v2.

Een ander bekend resultaat met betrekking tot de ingeschreven cirkel van een driehoek met oppervlakte A:
rin =2A
a + b + c
Oftewel
rin =
2uv(u2 - v2)
2u2 + 2uv
= v(u - v)
Bij elke deler v van het positieve natuurlijke getal n vinden we een u, zo dat
n = v(u - v) en dus u = n
v + v. Als we stellen q = n
v , dan vinden we na enig
vereenvoudigen de Pythagoras driehoek met zijden a, b en c
(a, b, c) = (2n + q2, 2n + 2v2, 2n + q2 + 2v2)

maar dit is dus eigenlijk niet wat ik zoek zouden jullie mij kunnen helpen?
Alvast bedankt

evelyn
3de graad ASO - maandag 2 mei 2011

Antwoord

Dag Evelien,
Je bent eigenlijk al bij wat je zoekt, want je zegt: r=v(u-v) en omdat u en v gehele getallen zijn is r ook een geheel getal.
Groeten,
Lieke.

ldr
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 3 mei 2011



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3