WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Machtreeksoplossingen van een differentiaalvergelijking

Dit is een reactie op vraag 63839

Ja dit klopt inderdaad. Dus de machtreeksoplossing voor s=n+1 is

SOM[a(k)z^(k+n+1)]=a(0)zⁿ⁺¹+a(2)zⁿ⁺³+a(4)z^(n+5)+...

met a(k) zoals voorgeschreven door de recurrente relatie.

Dit is dus één oplossing. Afahankelijk van n krijg ik oneven of even machten van z.

Nu wil ik nagaan of de machtreeks convergeert, ik denk dat ik het volgende kan gebruiken:

Als P(z)=b(0)+ b(1)z+b(2)z²+....een willekeurige machtreeks is, dan is deze absoluut convergent als

|z|·lim(k-oneindig)|b(k+1)/b(k)|1

Nu wil ik dit toepassen op onze machtreeks. Maar ik weet niet hoe ik dat precies moet doen. Ik bekijk hier de ratio |a(k+2)/a(k)|? Ofwel in ons geval bekijk ik de limiet van k- oneindig van

(·)[(k+n+1)(k+n+2)]/[(k+n+3)(k+n+2)-n(n+1)]

Is dit juist? Ik heb (·) uitgewerkt, voor k-oneindig gaan teller en noemer naar oneindig dus ik heb tweemaal L'Hospital toegepast en ik heb nu het volgende resultaat:

|z|·Lim(k-oneind.)|(2n+5)/(3n+7)|

Dit moet kleinder zijn dan 1. Maar ik weet niet hoe ik nu verder moet.Want als n willekeurig groot mag worden dan gaat de limiet alsnog naar oneindig.

Groeten,

Viky
Viky
Student universiteit - maandag 20 december 2010

Antwoord

Viky,
Waarom probeer je niet een expliciete uitdrukking voor de coëfficienten in de reeks te vinden.We weten nu dat a(k+2)=(T/N)a(k), voor k=o,2,....met
T=(k+n+1)(k+n+2) en N=(k+n+3)(k+n+2)-n)n+1). Hieruit volgt voor k=0:a(2)=(n+1)(n+2)a(0)/2(2n+3), voor k=2 vind je:
a(4)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)a(0)/2*4(2n+3)(2n+5), dus Algemeen):
a(2k)=(teller/noemer)a(0),met teller=(n+1)(n+2)....(n+2k) en de noemer
=2*4*...*2k(2n+3)....(2n+2k+1),voor k=1,2,....Kijk nu naar het gedrag van
a(2k+2)/a(2k) voor k naar oneindig.Als je wilt kun de zaak nog verder fatsoeneren.Zo is (n+1)(n+2)...(n+2k)=(n+2k)!/n!, en omdat
(2n+2)(2n+4)...(2n+2k)=2^k(n+k)!/n! ,
(2n+2)(2n+3)(2n+4)....(2n+2k)(2n+2k+1)=(2n+2k+1)!/(2n+1)! en
2.4....2k=2^k k!,vind je een mooie gesloten uitdrukking voor a(2k).

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 20 december 2010