WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren van functie met cos en sin

Hallo

Ik ben een som aan het maken en daar moet je een functie integreren.
De functie is f(X)=2cos(x)·((sin(x)²)-1). Deze functie moet je integreren.
Deze functie is echter ook te schrijven als f(x)=-2(cos(x)³) (omdat (sin(x)²)-1=-(cos(x)²))
Mijn vraag is nou hoe je precies deze functie integreert, wat zijn nou de regels met sin, cos en machten en hoe het kan dat 2 verschillende functie dan toch dezelfde integraal kunnen opleveren.
Daniqu
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 10 mei 2010

Antwoord

Hoi Danique

Het is eigenlijk niet nodig om eerst alles in cos te zetten, het stond eigenlijk al in een mooie direct integreerbare vorm. Je hebt:
I(2cos(x)(sin²(x)-1)dx)

Splits deze integraal op:
I(2cos(x)sin²(x)dx) - I(2cos(x)dx)
=2I(cos(x)sin²(x)dx) - 2I(cos(x)dx)

De rechtse integraal is een standaard integraal: I(cos(x)dx) = sin(x) + C. De linkse is ietsje moeilijker. Maar je weet dat als je een functie in de integrand zet, je altijd moet delen door de afgeleide ervan. Dus hier zou het bijzonder handig zijn dat je die cosinus kwijtraakt. Daarvoor zou je moeten delen door die cosinus. De cosinus is toevallig de afgeleide van de sinus, dus zou je die sinus in de integrand moeten zetten. En wat krijg je dan... O Mirakel! Een integraal van de vorm I(u²du) wat op zich weer een standaard integraal is :)

Dus we vertrokken van
-2I(cos(x)dx) + 2I(cos(x)sin²(x)dx)
= -2sin(x) + 2I[sin²(x)d(sin(x))] want D(sin(x))=cos(x)
= -2sin(x) + (2/3)sin³(x) + C

Zo, dit was hoe je je functie moet integreren.

Voor de regels kan je terecht op de samenvattingen van Wisfaq of in je handboeken. Toch een overzichtje dat je heel frequent moet gebruiken:
· I(sin(x)dx)=-cos(x)
· I(cos(x)dx)=sin(x)
· D(sin(x))=cos(x)
· D(cos(x))=-sin(x)

Maar ook op een heleboel andere formuletjes moet je rekening houden, zoals inderdaad met de grondformule van de goniometrie (sin²x+cos²x=1) en daaruit afgeleide formules. Het kan dus wel handig zijn om daarvan een overzichtje bij te hebben.

En dat van die 2 verschillende functies: tjah, 2 verschillende functies zullen een verschillende integraal opleveren. Maar de twee functies die jij gegeven hebt zijn natuurlijk dezelfde functies. Want je doet een beroep op goniometrische gelijkheden en het handig daaraan is net dat je in sommige gevallen je functies kunt vereenvoudigen, maar de functie zelf blijft gelijk.

Stel je bv. voor dat je een functie moet integreren:
f(x) = x⁵ . e^ln(x) / x²
Dan zal je daar dezelfde uitkomst krijgen als de integraal van de functie:
g(x) = x⁴

Want f(x) = g(x): dit zijn 2 dezelfde functies, geen verschillende!

Groeten

Brecht

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 mei 2010