De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Diophantisch vergelijkingen priemgetallen

Toon aan dat elk natuurlijk getal te schrijven is als product van priemgetallen, als volgt: stel dat N het kleinste natuurlijk getal is dat niet te schrijven is als product van priemgetallen; dan is N niet priem (waarom?). Dus is N het product van twee kleinere getallen. Die zijn dan wel te schrijven als product van priemgetallen. Vermenigvuldig dan die ontbindingen.

Vraag:
Die ontbinding is ook uniek, op het verwisselen van de factoren in de ontbinding na. Bewijs dit door gebruik te maken van volgende eigenschap van priemgetallen: als een priemgetal een deler is van het product van twee natuurlijke getallen, dan deelt het één van die natuurlijke getallen.

Alvast bedankt!

Gr. Johan

Johan
Student hbo - dinsdag 4 mei 2010

Antwoord

Stel dat er twee verschillende ontbindingen in priemfactoren zijn:
Dus p1a1p2a2...pnan = q1b1q2b2...qmbm
(nm, voor alle i zijn pi en qi priem, voor alle i zijn ai en bi geheel en positief, p1p2..pn, q1q2..qm).
Omdat p1 het linkerlid van de gelijkheid deelt, en linkerlid en rechterlid gelijk zijn, deelt p1 ook het rechterlid. Door herhaaldelijk gebruik te maken van genoemde eigenschap van priemgetallen, kunt u bewijzen dat p1 gelijk is aan een der qi.
Analoog kunt u bewijzen dat q1 gelijk is aan een der pi, en vervolgens (omdat beide aan hun kant de kleinste zijn) dat p1 = q1.
Door wegdelen van p1 en q1 in linker- en rechterlid ontstaat een gelijkheid met in linkerlid en rechterlid een priemfactor minder (namelijk a1+a2+..+an-1 resp b1+b2+..+bm-1 priemfactoren).
Herhaling van deze procedure met deze en andere pi levert uiteindelijk een gelijkheid van de vorm
1 = q1b1-a1q2b2-a2...qnbn-anqn+1b(n+1)...qmbm (er blijkt ook dat bi ai voor alle i)
Kunt u tenslotte aantonen dat m=n en bi=ai voor alle i?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 19 mei 2010



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3