WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vectorrekenen en meetkundige plaatsen

Bepaal de meetkundige plaats van de punten (P) waarvoor het verschil van de afstanden tot 2 gegeven vaste punten (A en B )constant is.

Wel, ik weet reeds dat het een hyperbool maar zie nog niet hoe ik het kan bewijzen mbv vectoren.

Ik zou M het midden van AB nemen zodat AM=MB
Nu weet je dat PA = PM+MA
PB = PM+MB = PM -MA

Verder zie ik niet in wat ik hier nog mee kan doen. Of gebruik ik een slechte ontbinding. Alvast bedankt
Robin
3de graad ASO - zondag 4 oktober 2009

Antwoord

Hallo, Robin.

Je zoekt de P met d(P,A)-d(P,B)=C.
Als bijvoorbeeld C=0, dan is de meetkundige plaats de middelloodlijn van AB.
Ik ga uit van C0, dus de afstand d(P,A) tot A is groter dan de afstand d(P,B) tot B. Het wordt dus nooit een hele hyperbool.
Als C=d(A,B) voldoen alleen de punten op een halfrechte met eindpunt B, als Cd(A,B) voldoet geen enkel punt P.
Ik neem verder aan dat de gegeven C tussen 0 en d(A,B) in ligt.

Stel A(-1,0) en B(1,0).
P(x,y) voldoet precies dan als Ö((x+1)²+y²) - Ö((x-1)²+y²) = C.
Je kunt deze vergelijking vereenvoudigen door in een handige volgorde termen naar de andere kant van het =-teken brengen, linkerlid en rechterlid van de vergelijking kwadrateren, uitwerken en termen wegstrepen.
Let er wel op dat je bij het kwadrateren "oplossingen" importeert die er niet bijhoren.
Uiteindelijk vind je de vergelijking van een hyperbool. Maar de helft aan de kant van A hoort er niet bij.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 9 oktober 2009