De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Lineaire combinaties

Bewijs: als l1,l2,l3 de eigenwaarden van A, dan is det A = l1*l2*l3.

Kan iemand mij aub helpen om dit te bewijzen? Ik heb geen idee...

Alvast bedankt!

Brent
3de graad ASO - maandag 16 juni 2008

Antwoord

Onder vrij algemene voorwaarden kan je A diagonaliseren:

A = P*D*P^(-1)

En volgens een eigenschap van determinanten:

det(A) = det(P)det(D)det(P^(-1))

D is een diagonaalmatrix met de eigenwaarden op de diagonaal, dus met determinant hun produkt. De andere determinanten zijn elkaars omgekeerde.

Een elegantere redenering maakt gebruik van de karakteristieke veelterm det(lI-A). Die is voor l=0 gelijk aan det(-A)=(-1)^n.det(A). Anderzijds geeft l=0 stellen in een veelterm in l de constante term, en in veeltermvergelijkingen is de constante term (-1)^n keer het produkt van zijn oplossingen en dat zijn precies de eigenwaarden.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 16 juni 2008



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3