WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Derdegraads vergelijking oplossen

Ik ben bezig met een aantal vergelijkingen oplossen met deze en een paar andere van dit soort loop ik vast kan je als je blieft helpen?????

x³+x = 500 (x³+ax = b)
a=3uv, b=v³-u³
x³+3uv x = v³-u³ (x+u=v)
3uv=1
v³-u³=500
3uv=1 dus, u=1:3v
u=1:3v invullen in v³-u³:
v³-(1:3v)³=500
v³+1:3v³=500
vermenigvuldigen met v³:

(v³)²-1:3=500v³
(v³)²-500v³-1:3=0

v³ opschrijven als y:
y²-500y-1:3=0

abc formule toepassen:

y= 500±(wortel) 500²-4×1×-1:3
2×1

y=500±500.0013333
2

(y kan alleen positief zijn omdat y =v³ en v is een zijde en een lengte van een zijde kan nooit negatief zijn.)
y=500+500.0013333
2

y=500.0006667

y=v³
dus v = ³(wortel)500.0006667
v=7.937008788
3×u×v=1
3×u×7.937008788=1 (1:3v=u)
1:(3×7.937008788)=u
1:23.81102636=u=0.04199734966

x+u=v
x+0.04199734966=7.937008788 (v-u=x)
7.937008788-0.04199734966=x
x=7.895011438

controle:
x³+x moet zijn 500
x invullen:
7.895011438³+7.895011438=500
klopt!!!!!!!

Andere x (en) zoeken:

HIER LOOP IK DUS VAST
hoe moet dat dan??????
alvast bedankt
groetjes Laia

laia
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 15 november 2002

Antwoord

Hoi,

Net voor je met v³ vermenigvuldigt heb je een tikfout. Je schrijft verder ook dat (1/3v)³=1/3v³. Dit moet zijn: 1/27v³.

Ik begrijp niet waarom je zegt dat v een lengte zou moeten zijn. Als dit een voorwaarde is die voor x geldt, dan mag je die negatieve waarden niet zomaar uitsluiten.
Beide oplossingen voor u geven in dit geval dezelfde waarde 7.8950082858 voor x.
Als je in het algemeen een oplossing (u₀,v₀) hebt voor u en v, dan is (-v₀,-v₀) ook een oplossing (kijk maar naar de vergelijkingen voor u en v). Voor de resulterende x-waarden hebben we: u₀-v₀= (-v₀)-(-u₀). Beide oplossing voor u geven dus altijd dezelfde x-waarde.

(De proef of x³+x=500 voor jouw (verkeerde) oplossing levert 500.0006 – opletten dus met dit soort valse vertrouwensproeven…).

Nu de andere wortels zoeken. We hebben al gevonden dat a=7.8950082858 een wortel is van f(x)=x³+x-500. Je zal je herinneren over veeltermen dat als f(a)=0, dat x-a dan een deler is van f(x). Welnu, f(x) is een veelterm van de derde graad, g(x)=f(x)/(x-a) is dus een veelterm van de tweede graad. De veelterm g(x) kan je berekenen door veeltermen te delen of met de methode van de onbepaalde coëfficiënten.
We schrijven f(x)=x³+x-500 als (x-a).(x²+b.x+c)=
x³+ (b-a).x²+(c-a.b).x-(a.c)
De veelterm f(x) en deze laatste zijn identiek voor alle waarden van x. Dit kan enkel als ze coëfficiënt voor coëfficiënt gelijk zijn. Dus:
b-a=0, c-a.b=1 en a.c=500
Hieruit moeten we b en c halen (a kennen we al).
We vinden: b=a en c=1+a²=500/a. (Je hebt a berekend zodat inderdaad 1+a²=500/a, we kunnen dus voor de eenvoudigste uitdrukking voor c kiezen).
Dus: g(x)= x²+a.x+500/a. De wortels van g(x) vind je met de abc-formule.

Tip: Probeer te vermijden om waarden van getallen overal mee te sleuren. Zodra het kan en zolang het doenbaar is, kan je beter namen geven aan je waarden. Dit deed ik hier met de wortel die we eerst vonden. Op het einde van je berekening kan je dan een overzichtje geven, waar je alle waarden dan vermeldt. Dit leest en schrijft stukken vlotter en je zult minder rekenfouten maken. Als je toch met waarden rekent, beperk je dan tot de eerste 3 of 5 cijfers en stel je waarden overal met deze naukeurigheid voor. Reken praktisch nooit verder met afgeronde waarden, maar met hun maximale nauwkeurigheid.

Tip: Er bestaat een stelling genaamd naar Descartes die een bovengrens geeft voor het aantal reële wortels van een veeltermfunctie. Dit aantal is namelijk begrensd door het aantal tekenveranderingen van de opeenvolgende coëfficiënten. In je voorbeeld is dit: 1,1,-500. Dus 1 tekenverandering en bijgevolg hoogstens 1 reële wortel.

Tip: Bedenk ook dat als z een complexe oplossing is van een veeltermvergelijking, dat het toegevoegde z* dan ook een oplossing is. Voor derde-graadsvergelijkingen heb je dus altijd 1 of 3 reële wortels. Met de Cardano-aanpak vind je altijd die reële wortel. De andere wortels (beide reëel of beide complex en toegevoegd) kan je bepalen zoals hierboven beschreven.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 18 november 2002