De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Pythagoreïsche driehoek

Een Pythagoreïsche driehoek is een rechthoekige driehoek waarvan de drie zijden gehele getallen zijn. Het bekendste voorbeeld is de driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 en hypotenusa 5.

Bepaal alle Pythagoreïsche driehoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan tweemaal de omtrek.

Nina W
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 10 juni 2007

Antwoord

Je kunt de Pythagoreische tripels genereren door twee positieve gehele getallen p en q te nemen met pq.
De zijden van de rechthoekige driehoek zijn dan p2-q2,2pq en p2+q2
De oppervlake is dan 1/2(2pq)(p2-q2)=pq(p2-q2)
De omtrek is dan p2-q2+2pq+p2+q2=2p2+2pq
Er moet dan dus gelden: pq(p2-q2)=4p2+4pq
Dus pq(p+q)(p-q)=4p(p+q)
Dus q(p-q)=4
Omdat p en q geheel zijn volgt hieruit dat q een deler is van 4.
Dus q=1 of q=2 of q=4.
q=1 => p-q=4 => p=5. De zijden van de driehoek zijn dan 24,10 en 26.
q=2 => p-q=2 => p=4. De zijden van de driehoek zijn dan 12, 16 en 20.
q=4 => p-q=1 => p=5. De zijden van de driehoek zijn dan 9, 40 en 41.

P.S. zou je het probleem nu ook op kunnen lossen als de oppervlakte 3 maal de omtrek is?

(met dank aan Anneke voor een kortere oplossing)

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 10 juni 2007



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3