WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vergelijking van een vlak adhv stel richtingsgetallen en een punt

Hey,
Groot probleem, morgen moet ik les geven over een onderwerp en ik snap een overgang niet in mijn boek...

Het gaat over de vergelijking van een vlak adhv een stel richtingsgetallen {R(a₁, b₁, c₁), S(a₂, b₂, c₂)} en een punt P (x₁, y₁, z₁).
Er staat volgend stelsel (dit snap ik allemaal nog wel):
begin stelsel:

ka₁ + ma₂ = x-x₁
kb₁ + mb₂ = y-y₁
kc₁ + mc₂ = z-z₁

Maar dan komt het...

de rang van matrix A = [[a₁, a₂][b₁, b₂][c₁, c₂]] = 2 (want R en S liggen in hetzelfde vlak I presume...)

en dan finally staat er: "Dus kunnen we de coëxistentiematrix voor een 3*2-stelsel toepassen..."
?! :o Wat stelt dat allemaal voor?
dan staat er:
P Î a:
det([[a₁, a₂, x-x₁][b₁, b₂, y-y₁][c₁, c₂, z-z₁]]) = 0

Mijn leerkracht zei iets van: "Jah, die afleiding is een paar borden rekenwerk he", maar ik zou wel graag weten hoe je daar aan geraakt...

Groetjes,
Michiel
Michie
3de graad ASO - donderdag 10 mei 2007

Antwoord

Dag Michiel,

De rang van A is het aantal onafhankelijke rijen of kolommen. R en S liggen wel in hetzelfde vlak, maar niet in elkaars verlengde. Daarom zijn ze onafhankelijk en is de rang 2.

Dan het tweede deel. Het gaat daar om de determinant. Ik weet niet wat jij daar allemaal al over weet maar het belangrijkste is dat de determinant van een 3x3 matrix gelijk is aan nul als (en alleen als) de drie kolomen (of rijen) afhankelijk zijn. Dat wil zeggen dat je één van de kolommen kunt schrijven als een lineiare combinatie van de andere twee. En dat is hier precies het geval: X-P = kR+mS. Dus R, S en X-P vormen een afhankelijk stelsel en dus is de determinant nul.

Ik neem aan dat je de volgende stap weer snapt. Als je de deteminant nu uit gaat rekenen komt er een vergelijking voor het vlak uit.

Is het zo duidelijk? Groet. Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 10 mei 2007