WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een vergelijking met 9 onbekende getallen (tussen 1-9) oplossen

ik heb de vergelijking:

A* [(b+c)^(tot de macht)(d-e) - F^(tot de macht)(g*H)] / J = 10

A * [(b+c)^(d-e) - F ^(g*h)] / J = 10

Elke letter is een UNIEK getal tussen 1 en 9.

Ik weet dat c-b= 1 en h-g = 3
Uit de eerste voorwaarden volgt dat b+c een oneven getal is tussen 3 en 17.
En dat h enkel de waarden 4 tot en met 9 kan hebben en g enkel de waarden 1 tot 6.
Berekeningen van de waarden leveren op dat d-e van -8 tot 8 kan varieren met uitzondering van 0. Omdat het echter om positieve getallen gaat moet d-e positief zijn. Omdat d-e een positief getal moet zijn moet d hoger zijn dan e en kan d geen 1 zijn en e geen 9.

Verder heb ik berekend dat als je het hele tussenstuk x noemt dat de uitkomst tussen de 10 en 90 ligt als je J uitschakelt en heb ik een tabel met uitkomsten van x waaruit volgt dat x geen 10 kan zijn en tussen de 1,12 en 90 ligt.

Zo ver ben ik nu gekomen. Ik zou graag de puzzel oplossen en met enkele extra hints aan mijn meiden voorleggen. Kan u mij helpen. Dit vraagstuk staat nl. op een kindersite. Ik denk dat ik nog een denktrucje vergeet. Een andere oplossing is een programmaatje alles laten uitproberen, maar ik weet niet hoe ik deze formule in excel of andere programmeertaal weergeeef/omzet. (Toch moet dit kunnen zonder alle berekingen uit te voeren).
Angeli
Ouder - vrijdag 1 december 2006

Antwoord

Hallo,

Wat je al hebt afgeleid is juist.
Je weet nog een aantal dingen: bijvoorbeeld dat 10j/a geheel is, dus a is een deler van 10j.
Je weet ook dat h-g=3, dus g en h zijn 1 en 4, of 2 en 5, of...
Nu zie je echter dat je f tot de macht (g*h) hebt. Als g dan 2 is (of nog meer), dan krijg je daar al een exponent 10 (of 3*6=18 of nog hoger). Dat is al enorm veel en lijkt me eerlijk gezegd niet erg waarschijnlijk, vermits je weet dat jouw x ergens tussen 2 en 90 moet liggen. TENZIJ wanneer f=1, want 1 tot een macht is altijd gelijk aan 1, hoe hoog de exponent ook is.

Dus waarschijnlijk hebben we ofwel f=1, ofwel g=1 en h=4.
- Eerste mogelijkheid: g=1, h=4. Je hebt daar dus een g*h=4de macht staan. Dus f^(g*h)=16 of 81 of 625 of 1296 of... (f kan niet 1 of 4 zijn, die heb je al gebruikt). Nu, laten we eerst proberen een zo eenvoudig mogelijke oplossing te zoeken, dus we werken met f=2 of 3. Dan kunnen b en c niet gelijk zijn aan 2 en 3, dus b+c is 11,13,15,17 of 19. Je moet dat tot de macht d-e doen, ook hier gaan we het om te beginnen zo eenvoudig mogelijk houden, en we hopen dat d-e gelijk is aan 1 of 2. Nu kan d-e=1 niet: je zou dan immers nog kunnen proberen met x=17-16 of x=19-16, maar dan zie je al snel dat je er niet komt. Dus misschien een kwadraat, dus d-e=2? Dan moet je maar eens wat dingetjes proberen (dus met f=2 of 3, g=1, h=4, en b+c die opeenvolgende oneven getallen), bereken telkens x en kijk welke waarden je nog mag gebruiken voor a en j. Je komt dan vrij snel tot de juiste oplossing.

- Mocht je met de andere mogelijkheid, f=1, beginnen, dan lijkt het me moeilijker (je zal trouwens ook geen oplossing vinden, want er is maar één juiste oplossing zo blijkt uit een computerprogrammaatje). Je moet dan zoeken naar een macht van een oneven getal, dat als je er één van aftrekt, uitkomt op iets dat je zou kunnen schrijven als 10j/a. Ik denk niet dat je dat veel eenvoudiger kan oplossen dan simpelweg gevallen uitproberen, waar je wel een tijdje mee bezig kan zijn...

In Maple kreeg ik volgend resultaat:
Invoer:

S:={};T:={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
for a from 1 to 9 do
for b from 1 to 9 do
for d from 1 to 9 do
for e from 1 to 9 do
for f from 1 to 9 do
for g from 1 to 9 do
for j from 1 to 9 do
if a*((b+b+1)^(d-e)-f^(g*(g+3)))/j = 10 then if S union {a} union {b} union {b+1} union {d} union {e} union {f} union {g} union {g+3} union {j} = T then
print(a,b,b+1,d,e,f,g,g+3,j) end if end if end do end do end do end do end do end do end do;

Uitvoer:

S := {}
T := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2, 5, 6, 9, 7, 3, 1, 4, 8
.

Dus inderdaad maar één oplossing.

Veel succes ermee!
Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 2 december 2006