WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvorm met `gaten`

Beste allemaal,

Kunt U mij helpen met onderstaande vraag:

"Als w een differentiaalvorm is op een verzameling met een of meer 'gaten', dan kan het gebeuren dat w niet exact is terwijl wél aan de voorwaarde ¶p/¶y=¶q/¶x voldaan is.
Laat zien dat w=y/(x²+y²)dx - x/(x²+y²)dy aan deze voorwaarde voldoet, maar niet aan de eigenschap dat de integraal van w over een gesloten kromme altijd gelijk aan 0 is. Integreer maar over de cirkel x²+y²=1. Verklaring: de functies die w definiëren zijn netjes op {(x,y)Î² en (x,y)¹(0,0)}, een verzameling met gat (de oorsprong)."
Bedankt voor de hulp!
Saar
Student universiteit - zondag 26 november 2006

Antwoord

Ik denk dat de vraag zichzelf al heel behoorlijk uitlegt: er zijn op het vlak-minus-de-oorprong niet-exacte differentialvormen pdx+qdy die wel aan de eis op de partiële afgeleiden voldoet.
Het voorbeeld staat er al; je hoeft alleen nog maar y/(x²+y²) naar y en -x/(x²+y²) naar x te differentiëren (en zien dat de antwoorden gelijk zijn). Verder moet je die vorm over de eenheidscirkel integreren (en zien dat er geen nul uit komt).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 9 december 2006