WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oplossen van complexe vergelijking

Hallo, ik heb 3 vergelijkingen met complexe getallen en ik heb geen idee hoe ik dit aan moet pakken. Kan iemand mij hiermee helpen?
Dit zijn de vergelijkingen:
1) Los op: z⁵=32j
2) Los op: z³=8+8j
3) Los op: z⁴-z=0

Ze vragen ook nog iets waar ik niet uitkom, misschien dat iemand me daar ook mee kan helpen.
4) Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm van een e macht: 3-9j

Alvast bedankt,

Paul
Paul
Student hbo - maandag 13 februari 2006

Antwoord

Beste Paul,

Het bepalen van n^de-machtswortels van complexe getallen gaan een stuk gemakkelijker als dat complexe getal in exponentiële notatie wordt geschreven. We herschrijven dus x+iy als re^it met de modulus r = √(x²+y²) en het argument t = arctan(y/x).

In je eerste opgave schrijf ik z ook in die vorm, ik neem z=re^it. We kunnen ook 32j in die vorm schrijven (reken zelf na wat dat wordt), ik noteer in het algemeen een complex getal se^iu met nu s de modulus en u het argument omdat deze kunnen verschillen van r en t. Maar zⁿ is dan (re^it)ⁿ = rⁿe^int. Dus: rⁿe^int = se^iu

Hieruit volgt dat rⁿ = s dus r = s^1/n.
Nu even oppassen, complex is de exponentiële functie periodiek met periode 2$\pi$i, we hebben dus: nt = u+2k$\pi$ dus t = (u+2k$\pi$)/n. Laat hierin n lopen van 0 tot 4 (één minder dan je macht van de wortel) en je hebt alle wortels gevonden.

Opgave 2 kan ook op deze manier, 3 ontbindt je eerst (splits dan op in twee gevallen) en voor 4 heb je de formules al hierboven staan.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 13 februari 2006