WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Homogene differentiaalvgl met reële constante coëff van de laagste orde

Dit is een reactie op vraag 42747

Bedankt!

*Ik heb echter nog steeds een probleem bij het bepalen van y_p bij de volgende opgave:
y"+6y'+9y=e^-3x Enig idee? Ik had zelf x²*e^-3x geprobeerd maar dat bleek niet erg zinvol...

** Bij de opgave y"+6y'+9y= sinx + e^-3x
bekwamen we na heel wat ussenstappen (na substitutie):
sinx(-a-6b+9a) + cosx(-b+9b-6b)+c*e^(-3x)(9x²-12x+2-18x²+9x²)= sinx+ e^-3x
wat tenslotte het volgende opleverde:
-6b+8a = 1 = a=8/100
8b+6a = 0 = b= -6/100
2c = 1 = 1/2

Hoe komt men hieraan? Ik begrijp dat het te maken heeft met de coëffieciënten links die moeten overeenstemmen met de coëfficiënten rechts maar.... ??

***
Opgave: Bepaal de unieke oneven functie die voldoet aan de differentiaalvergelijking:
y"" + y"=0 waarvan de raaklijn in x=0 de richtingscoëff. 1 bezit en doie extremum bezit in x=pi/2

Ik deed:
We weten dus de voorwaarden dat: y'(0)=1 en y'(pi/2)=0 en oneven wil zeggen dat f(x)= -f(x)

Bepalen van de karakteristieke vgl: r²(r+i)(r-i)
zodat y= C1*x + C2 + C3*cosx + C4*sinx

En ik dacht: oneven dus C1=0=C4
maar dit blijkt niet te kloppen want: y'(0)= C1 + C4 = 1 ??
Wat deed ik fout?

****
Bepaal de functie f(x)
(accolade) y1(x) x0
y2(x) x0
waarbij y1(x) en y2(x) oplossingen zijn van de respectievelijke differentiaalvergelijkingen
y"-2y'+5y=0 (voor y1)
en y' + y = e^-x
en warabij f(x), f'(x) en f"(x) continu zijn in elk punt x van R.

Ik probeerde:
(1) ik bekwam: y= C1*cos(2x)* e^x + C2*sin(2x)*e^x

(2) y' + y = e^-x
ik nam y(p)=a*x*e^-x
maar dan kwam ik na subst op e^-x + ax*e^-x = e^-x wat zou beteken dat a= 0 ??

Ziezo, dat was alles over differentiaalvergelijkingen, het lijkt haast een overdosis maar goed ;-)
Hopelijk wil je zo vriendelijk zijn om me nogmaals verder te helpen?

Hartelijk dank!

groetjes

anne
Student universiteit België - dinsdag 7 februari 2006

Antwoord

Beste Anne,

*) Nochtans is dat het juiste voorstel, omdat e^-3x reeds een dubbele oplossing is van de homogene vergelijking. Het enige dat je vergeet is een constante invoeren, die wil je net bepalen. Dus: y_p = c.x².e^-3x.

**) Het was wel handig geweest als je het voorstel tot particuliere oplossing had meegegeven, nu kan ik niet zien waar al die onbepaalde coëfficiënten bij hoorden... Na even testen denk ik dat het ongeveer zo geweest is: y_p = a.sin(x) + b.cos(x) + c.x².e^-3x Nu is het niet moeilijk, maar alleen veel rekenwerk om beide afgeleides te bepalen, alles in de DV te steken en dan groeperen in sinx, cosx en e^-3x. Ik ben wel niet akkoord met al die machten van x die nog volgen bij e^-3x, na vereenvoudiging hoor je te vinden:

2ce^-3x + (6a+8b)cos(x) + (8a-6b)sin(x) = sin(x) + e^-3x Nu vergelijking je de coëfficiënten van e^-3x, cos(x) en sin(x) uit het linkerlid met die uit het rechterlid en je stelt ze gelijk aan elkaar. Dit levert het stelsel dat je zelf gaf met ook de opgegeven oplossing.

***) Kleine opmerking, oneven wil zeggen dat f(x) = -f(-x). Het is dus ook precies sin(x) en x die oneven functies zijn, dus je laat net C2 en C3 weg. We houden dan over (ik hernoem de coeff naar a en b): y = a.x + b.sin(x).
Nu kan je afleiden en beide punten invullen, in een stelsel gieten etc maar het antwoord ligt voor de hand. De functie sin(x) wordt namelijk net extreem in p/2 en heeft in 0 ook de rico gelijk aan 1.

****) Je oplossing voor y₁ ziet er goed uit maar bij y₂ volg ik niet hoe je die substitutie hebt gedaan. Heb je bij het afleiden rekening gehouden met de productregel? Reken eens opnieuw na, je zou voor a precies 1 moeten vinden.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 8 februari 2006