WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijzen

Beste,

dit zijn 3 vraagjes die op mijn lijst mogelijke examenvragen voorkomen waar ik geen antwoord weet op te verzinnen. Als er iemand zo goed zou willen zijn... 1. geef een voorbeeld van een convergente rij van reële getallen en bewijs adhv de definitie met limieten dat deze inderdaad convergeert.

2.Zelf een voorbeeld kunnen geven van een situatie van een niet bestaande limiet en aantonen met ed definitie dat deze inderdaad niet bestaat.

3. geef een voorbeeld van een bestaande limiet (naar een bepaald getal van een breuk) waar je de l’hopital op toepast en een andere limiet bekomt die niet bestaat.
lim(f(x)/g(x)) bestaat aldus, maar wanneer je daarop de L’hopital zou toepassen; lim (f’(x)/g’(x)) bestaat niet.

bij de 3de probleemstelling, denk ik dat zoiets niet bestaat. Is het niet zo dat wanneer je na toepassen van Hopital een limiet bekomt die niet bestaat je hopital gewoon verkeerd toegepast hebt????

mvg
Kathy

Kathy
Student universiteit België - maandag 9 januari 2006

Antwoord

Beste Kathy,

1) Een rij u_n convergeert naar de (eindige) waarde l als lim(n$\to\infty$) u_n = l.
Ik neem aan dat je dat bedoelt, dan is het toch niet zo moeilijk? Beschouw bijvoorbeeld de rij u_n = 1/n. Deze convergeert naar 0 vermits lim(n$\to\infty$) 1/n = 0.

2) In de definitie die ik ken komt helemaal geen $\delta$ voor, verwar je het niet met limieten van functies of continuïteit? Ofwel moet je jouw definitie even geven... In elk geval, de rij u_n = (-1)ⁿ convergeert niet omdat ook de limiet niet bestaat, je krijgt een constante schommeling van 1 naar -1.

3) Toch kan het, maar niet omdat je L'Hopital 'verkeerd' hebt toegepast. Als je de stelling van L'Hopital een beetje 'fatsoenlijk' gezien hebt dan moet er zeker bij staan dat de regel enkel doorgaat als de nieuwe limiet (dus die met de afgeleide functies) bestaat.

Beschouw de functie f(x) = (x+sin(x))/x. Voor x gaande naar oneindig krijg je hier de onbepaaldheid $\infty$/$\infty$ maar na toepassing van L'Hopital krijgen we 1+cos(x) en hiervan bestaat de limiet niet voor x naar oneindig (want cos(x) is schommelend tussen -1 en 1). De limiet van de oorspronkelijke functie bestond trouwens wel (en kan gemakkeld bepaald worden door de breuk in twee te splitsen).

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 12 januari 2006