WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Ongelijkheden tekenen

Beste,

Bij het bepalen van stabiliteitsgebieden bij het numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen kom ik tot ongelijkheden als
|1+z|$<$1 of |2+z|$<$|2-z| waarbij z een complex getal is.
Hoe moet ik vertrekkende van deze vergelijkingen de complexegetallen z, die aan de ongelijkheid voldoen in het complex vlak tekenen?
Ik veronderstel trouwens dat | | de modulus wil voorstellen...
Ik weet dat de eerste ongelijkheid een cirkel zal geven de tweede zal gewoon heel het vlak op de negatieve reeële as geven...(dit heb ik niet zelf gevonden...:-s)

Dank bij voorbaat
Lander
Student universiteit België - zaterdag 7 januari 2006

Antwoord

Beste Lander,

Met een beetje meetkundig inzicht kan je deze zaken makkelijk en snel inzien. Als je dat niet lukt (probeer daar toch op te oefenen!) dan is er gelukkig nog altijd een andere methode, maar daar moet je wel bij rekenen...

Laten we het eerst intuïtief bekijken, het is dan belangrijk dat je weet dat iets van de vorm |z-a| (let op het minteken!) meetkundig eigenlijk de afstand van het complexe getal z tot het punt a voorstelt. Dat betekent ook direct dat |z-a| hetzelfde is als |a-z|, dat is misschien soms handig.

Laten we dan |1+z| $<$ 1 herschrijven naar die vorm: |z-(-1)| $<$ 1.
Nu staat er dat we alle complexe getallen z zoeken waarvoor de afstand tot het punt z = -1 steeds kleiner is dan 1. Dat is natuurlijk een schijf, met middelpunt z = -1 en straal 1. Merk op dat dit dus in het algemeen geldt, voor een schijf met middelpunt a en straal b hebben we: |z-a| $<$ b.

Let wel op: 'cirkel' is alleen de rand, is dus van de vorm |z-a| = b. Als het over een ongelijkheid gaat vullen we het hele gebied van die cirkel (met of zonder rand, afhankelijk van $<$ of $\leq$) en dat is dan een schijf.

Ook voor de tweede opgave gaan we het herschrijven zodat we er een duidelijke uitleg aan kunnen geven. Het is namelijk ook |z-(-2)| $<$ |z-2|. We zoeken nu dus alle punten z waarvoor de afstand tot -2 kleiner is dan de afstand tot 2. Uiteraard wordt deze afstand gelijk in 0 (en ook voor de hele y-as, of imaginaire as) en eenmaal daar voorbij (dus in het halfvlak van de negatieve x-as, reële as) zal dit wel gelden natuulijk.

Stel dat je dit niet zo goed inziet, vervang dan gewoon z door x+iy en werk de moduli gewoon uit (|z| = √(x²+y²)). Je kan dan de bekomen ongelijkheid oplossen en je zal hier x $<$ 0 vinden, als je goed gerekend hebt

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 7 januari 2006