WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oneigenlijke integraal

Als voorbeeldoefening kregen we de volgende opgave:

int( log(1-x) · arccosh(1/(1-x)) ) van 0 tot 1.

De vraag is het onderzoeken van de convergentie/divergentie.
In gelijkaardige oefeningen is het de bedoeling de functie te vervangen door een eenvoudigere functie die asymptotisch equivalent is.

Graag had ik een startpunt gehad, want het vinden van een asympt equivalente functie van een product van logaritmen is mij te moeilijk

Dank bij voorbaat
Jan
Student universiteit België - vrijdag 16 december 2005

Antwoord

Hallo,

Je kan zoeken naar asymptotische equivalentie, of je kan ook de vergelijkingstest gebruiken: dat komt er grofweg op neer dat je een grotere functie zoekt die oneigenlijk integreerbaar is, wat impliceert dat je originele functie dat ook is. OF dat je een kleinere zoekt die niet oneigenlijk integreerbaar is, wat dan impliceert dat je originele dat ook niet is. In deze oefening zal de eerste situatie van toepassing zijn.

Als je de vergelijkingstest wil gebruiken, zoek dan eerst waar je een divergentie zou kunnen krijgen. Je zit hier op een eindig interval, de functiewaarde voor x=0 is nul, voor x=1 krijg je min oneindig, daartussen zijn er geen problemen. Dus je moet enkel weten of de integraal tussen 1-$\epsilon$ en 1, eindig is of niet.

Ik had eerst een substitutie doorgevoerd (u=1-x) zodat ik de integraal kreeg tussen 0 en $\epsilon$ van ln(u) · ln(1/u + √(1/u² - 1))
Wat in absolute waarde kleiner is dan ln(u)·ln(2/u)

En dan kan je gebruiken dat de ln traag stijgt, trager dan elke polynoom. Kan je aantonen dat |ln(u)|$<$u^p voor eender welke negatieve p, en voor u in een interval ]0,$\epsilon$]? En dat ln(2/u)$<$u^q voor eender welke negatieve q, ook voor u in zo een klein interval rechts van de nul?

Dit geeft je een afschatting voor de integraal die groter is dan de oorspronkelijke (in absolute waarde), als je de p en q dan nog zo kan kiezen dat de integraal van deze afschatting tussen 0 en $\epsilon$ eindig wordt, dan ben je er.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 16 december 2005

Re: Oneigenlijke integraal