De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Gulden Snede en Abc-formule

Je krijgt bij de vraag; wat is de gulden snede een goede berekening;
x2+10x-100=0
Nu moet je het verder gaan uitrekenen met de abc-fomule, maar ik snap niet hoe je dat kunt doen. Wilt u de stapjes goed, duidelijk uitleggen?

Elise
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 26 april 2005

Antwoord

Beste Elise,
Je moet dus de vergelijking: x2+10x-100=0 oplossen met de Abc-formule: (-b±Ö(b2-4ac))/(2a)
(let erop dat ± niet betekend 'ongeveer', maar dat er eigenlijk twee formules zijn, eentje die + gebruikt, eentje die - gebruikt)
Deze formule hoort bij de algemene vergelijking ax2+bx+c=0
In jouw vergelijking heb je in plaats van ax2 heb je x2 ofwel 1·x2 en kunnen we dus stellen: a = 1
Tevens heb je in plaats van bx heb jij 10x dus: b=10
En in plaats van c heb jij -100 dus: c=-100
Dit allemaal nu invullen in de formule geeft:
-10±Ö(102-4·1·(-100)))/(2·1)
Dan nu vereenvoudigen:
102=10·10=100
4·1·(-100) = 4·(-100) = -400
Dus het geheel onder de wortel wordt:
102-4·1·(-10))=100- -400 = 100+400 = 500
En de noemer in de formule (gedeelte onder de deelstreep) wordt: 2·1=2
Dus de hele formule kan vereenvoudigd worden naar:
-10±Ö(500))/2
Dan nu handmatig een wortel vereenvoudigen:
Kijk steeds door welk kleinste getal het gedeelte onder de wortel deelbaar is en stop als je bij 1 bent, ofwel:
500 is deelbaar door 2, 500/2=250
250 is deelbaar door 2, 250/2=125
125 is deelbaar door 5, 125/5=25
25 is deelbaar door 5, 25/5=5
5 is deelbaar door 5, 5/5=1
Dus 2·2·5·5·5=500 en kunnen we dus herschrijven:
Ö(500)=Ö(2·2·5·5·5) = Ö(22·52·5)
Omdat geldt: Ö(p·q)=Ö(p)·Ö(q) mogen we dus ook herschrijven:
Ö(22·52·5)=Ö(22Ö(52Ö(5)
En omdat algemeen Ö(p2)=p krijgen we zo:
2·5·Ö(5)=10·Ö(5)

Terug naar onze formule:
(-10±Ö(500))/2 wordt dus nu:
(-10±10·Ö(5))/2

Dit is weer te herschrijven naar:
2·(-5±Ö(5))/2
En dit is weer te vereenvoudigen naar:
-5±Ö(5)

Echter de gulde snede is: (1+Ö(5))/2 en dit zal dus niet echt een goede benadering zijn.

Kijken we nog even naar de 'negatieve' variant van ons gevonden antwoorden: -5-5·Ö(5)
Deel dit door -10 en we krijgen zo:
(-5-5·Ö(5))/(-10)
Dit is te vereenvoudigen naar:
(1+Ö(5))/2
Dit zou dan weer wel de gulden snede zijn.

M.v.g.
Peter Stikker

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 27 april 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3