De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Lemma van Artin-Dedekind

Hallo wisfaq,

Ik heb twee vragen over het bewijs van het volgende lemma:
Laat A een abelse groep, F een lichaam, en laat s_1,s_2,...,s_n (paarsgewijs verschillend) een groepshomomorfisme van A-F*.Dan zijn s_1,s_2,...,s_n lineair onafhankelijk over F.
Bewijs
Stel s_1,s_2,...,s_n zijn lineair afhankelijk over F.Kies de kleinst mogelijk aantal getallen van coefficienten ongelijk aan 0, zeg:
(1) a_1s_1+...+a_ts_t=0, met a_1,...,a_t in K allemaal ongelijk aan 0.
t=2 want s_1 en s_2 zijn verschillend.Er bestaat een z in A met s_1(z)=s_2(z) voor iedere x in A.

(2) a_1s_1(xz)+...+a_ts_t(xz)=0, hieruit volgt,

(3) a_1s_1(z)s_1+...+a_t(z)s_t=0

vraag1.waarom en hoe volgt (3) uit (2)?

Vermenigvuldig nu (1) met s_1(z),

a_1s_1(z)s_1+...+a_ts_1(z)s_t=0

haal hier vervolgens (3) van af,

(4) a_2(s_2(z)-s_1(z))s_2+...+a_t(s_t(z)-s_1(z))s_t=0

vraag2.Ik zie niet hoe nu (4) verkregen wordt.

maar a_2(s_2(z)-s_1(z)) ongelijk 0, dus we hebben een tegenspraak.

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - maandag 4 april 2005

Antwoord

Hoi Viky,

De structuur van het bewijs is als volgt: je veronderstelt dat s1,..., sn afhankelijk zijn, dus dat er een lineaire combinatie bestaat a1s1+...+atst=0 met alle a's nietnul, en je kiest die met t zo klein mogelijk.

Dit is wel belangrijk: het feit dat die lineaire combinatie van homomorfismen gelijk is aan nul, betekent dat voor elke x uit A:
a1s1(x)+...+atst(x)=0 (*)

Anderzijds zijn s1 en s2 niet gelijk, dus bestaat er minstens een z in A waarvoor s1(z) ¹ s2(z).

(*) geldt voor elk element x van A, dus ook voor het element xz, we krijgen dus:

a1s1(xz)+...+atst(xz)=0
en
a1s1(x)+...+atst(x)=0

Vermenigvuldig die onderste met s1(z), en in de bovenste gebruiken we dat we te maken hebben met homomorfismen, dus we hebben een productregel en we krijgen:

a1s1(x)s1(z)+...+atst(x)st(z)=0
en
a1s1(x)s1(z)+...+atst(x)s1(z)=0

Maak het verschil, groepeer de termen volgens si(x):
aisi(x)si(z)-aisi(x)s1(z)=0
Dus ai(si(z)-s1(z))si(x)=0
En dit nog steeds voor elke x uit A! Met andere woorden:
ai(si(z)-s1(z))si=0

Of we hebben dus een lineaire combinatie van t-1 si's die nul geeft, en waarbij niet alle coefficienten nul zijn... Ha neen, want we hebben in het begin gezegd dat s2(z)-s1(z)¹0, en we hebben aangenomen dat de ai ook niet nul waren. Conclusie: we hebben een lineaire combinatie gevonden die nul geeft, met nog minder nietnulcoefficienten dan die waarmee we begonnen waren. Dat is strijdig, want we hadden vooropgesteld te beginnen met een lincomb met zo weinig mogelijk nietnulcoefficienten. Eindconclusie: de veronderstelling dat de si afhankelijk zijn, klopt niet.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 april 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3