WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Omwentelingslichaam [2]

De grafiek f(x)=x²-2x en g(x)=-x²+4x sluiten een vlakdeel V in. Hoe bereken je dan het omwentelingslichaam dat ontstaat als V om de x-as wentelt. Waarom moet je het in delen omwentelen? En zijn er nog andere manieren?
Ik kom er niet helemaal uit.
Peter
Student hbo - zondag 26 mei 2002

Antwoord

Ik zal proberen e.e.a uit te leggen aan de hand van een voorbeeld, gelieve even mee te rekenen.

Stel je hebt twee functies:
f(x)=5 en g(x)=x²-4 (schets deze eens)
en je wilt de inhoud van het omwentelingslichaam weten (om de x-as), van het opp. ingesloten door de twee grafieken.

Ten eerste snijden deze twee grafieken de x-as in x=-2 en x=+2
Wanneer je nu beide grafieken (op het bewuste interval) om de x-as wentelt KRIJG JE PRECIES HETZELFDE LICHAAM als wanneer je alléén de lijn y=5 om de x-as zou wentelen. namelijk, het omwentelingslichaam van y=5 "omhult" als het ware het omwentelingslichaam van y=x²-4 geheel.
Enig contour van y=x²-4 zie je niet meer terug in het omwentelingslichaam.
Je krijgt namelijk gewoon als resultaat een cilinder (met lengte 4 en straal 5)
Dit komt (!!) doordat op het interval [-2,+2] geldt dat f(x)
en g(x) omgekeerd van teken zijn, EN dat de absolute waarde van de functie f(x) groter is dan de absolute waarde van g(x). ofwel |f(x)||g(x)|

Stel nu, dat je uitgaande van dezelfde functies, het omwentelingslichaam moet berekenen op het interval [2,3], dan krijg je de situatie dat f(x)en g(x) hetzelfde teken hebben, en dat |f(x)||g(x)|.
Je krijgt een figuur van f(x) om de x-as gewenteld, waar de omwentelingsfiguur van g(x) uit is UITGESPAARD.

De derde situatie is, dat je bijv. het omwentelingslichaam moet berekenen op het interval [3,4].
Hier hebben f(x) en g(x) nog steeds hetzelfde teken. Maar omdat nu |g(x)||f(x)| moet je eerst g(x) om de x-as wentelen, en daar vervolgens het omwentelingslichaam van f(x) weer vanaf trekken.

Dit zijn drie verschillende mogelijkheden waar je bij omwentelingslichamen tegenaan kunt lopen.

Jouw grafieken hebben twee verschillend te behandelen intervallen, namelijk [0,2] en [2,3].
Het eerste daar zijn de functies tegengesteld van teken.
geldt op het interval [0,2] ook inderdaad dat |f(x)||g(x)| zoals je zou vermoeden? Dit moet je narekenen door te kijken of de vgl f(x)=-g(x) ook oplossingen heeft op het interval [0,2].
Heeft 'ie geen oplossingen, dan betekent dat dat op het hele interval [0,2] je alleen het omwentelingslichaam van f(x) hoeft te berekenen, omdat deze het 'bobbeltje' gevormd door het omw.lichaam van g(x) OMVAT.
Heeft ie WEL oplossingen, dan moet je ook dit interval splitsen in tweeen.

Op het interval [2,3] zijn de tekens van beide functies hetzelfde (namelijk allebei boven de x-as dus allebei positief) en dus moet je eerst het omw.lichaam van de grotere functie berekenen, en daar die van de kleinere vanaf trekken. (Dit is de uitsparing)

Hopelijk is het zo iets duidelijker.
SCHETS DE SITUATIES ALTIJD!

groeten,
Martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 26 mei 2002