De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Recurrente relatie oplossen

 Dit is een reactie op vraag 28177 
Dus je kan gelijk al stellen dat de formule Xt = 3 Xt-1 -2^t leidt tot dit: Xt=a×3t+b×2t ?

Zo ja, hoe dan?

Xavier
Student universiteit - woensdag 6 oktober 2004

Antwoord

Als ik kijk naar jouw oorspronkelijke vraag en de 1e poging tot oplossen:
Vraag: Los deze recurrente relatie op:
Xt = 3 Xt-1 -2t

1e poging tot oplossen:
c · -2t = 3·c·-2^(t-1)-2t
c = c -2t
ofwel geen oplossing


Dan veronderstel je op de eerste regel kennelijk dat er een x(t) van de vorm c·-2t een oplossing is.
Op de tweede regel van deze oplossingsmethode maak je een fout, immers:
Uit c · -2t = 3·c·-2^(t-1)-2t volgt:
-c·2t=-3c·2t-1-2t
We kunnen dit omschrijven tot:
-c·2t=-11/2c·2t-2t
Delen door 2t levert:
-c=-11/2c-1, dus 1/2c=-1, dus c=-2.
We hebben nu gevonden dat x(t)=2×2t een oplossing is van de recurrente betrekking.

Daarmee zijn we kennelijk nog niet klaar want we willen alle oplossingen hebben. Daartoe gaan we als volgt te werk:
We bekijken de geassocieerde recurrente betrekking:
Xt = 3 Xt-1.
Alle rijen van de vorm Xt=a×3t zijn oplossingen van deze geassocieerde recurrente betrekking, immers:
3×Xt-1=3×a×3t-1=a×3t.

Als dat zo is en we hebben een gt die voldoet aan de recurrente betrekking, dan vormt de rij xt=a×3t+gt de algemene oplossing, immers:
3×xt-1-2t=
3×(a×3t-1+gt-1)-2=
a×3t+3gt-1-2t
Als dit gelijk moet zijn aan a×3t+gt, dan moet gt=3×gt-1-2t
En dit is zo want gt voldeed aan de recurrente betrekking.
We hadden dus
1)de particuliere oplossing gt=2×2t
2)de geassocieerde recurrente betrekking met oplossingen a×3t

Conclusie:
a×3t+2×2t vormt de algemene oplossing.

Een aardige verdieping van de opdracht zou kunnen zijn:
Gegeven de recurrente betrekking:
X(t)=a·X(t-1)+b·ct.
Bewijs dat er een getal d bestaat, zo dat
X(t)=aat+d·ct de algemene oplossing is van deze recurrente betrekking.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 7 oktober 2004



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3