De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Arithmetische functies

Hallo team wisfaq,

Ik heb de volgende arithmetische functie:

f(n)=1 als n te schrijven is als som van twee kwadraten en f(n)=0 als n niet te schrijven is als som van twee kwadraten.
Ik wil bewijzen dat f multiplicatief is en bekijken of f sterk multiplicatief is.

Ik moet dus aantonen dat f(1) niet gelijk aan 0 is en dat
f(m*n)=f(m)*f(n) voor alle m,n met ggd(m,n)=1.
Dus ik moet aantonen dat als mn te schrijven is als som van twee kwadraten dat dan geldt dat m en n ook te schrijven zijn als som van twee kwadraten.
m=a^2+b^2 en n=a^2+b^2.Vraag 1:Hoe bewijs ik dit nu?

Om te bewijzen dat f sterk multiplicatief moet ik hetzelfde aantonen maar nu voor alle natuurlijke getallen me en n.Vraag2: Hoe bewijs ik dit?

Verde wil ik het volgende bewijzen:

[SOM van n=1 tot oneindig]f(n)*(n^-s)=
[1/(1-(2^-s))]*[PRODUCT]1/(1-(p^-s))*[PRODUCT]1/(1-(p^-2s)

waarbij het eerst producr genomen wordt over alle priemgetallen p met p=1(mod4) en het tweede product over alle priemgetallen p met p=3(mod4)Vraag 3. Hoe bewijs ik dit?(ik mag aannemen dat de reeksen convergeren)

Ik kan o.a gebruiken maken van het Eulerproduct, en de functie z(s)=[SOM n=1, oneindig]n^-s=
[PRODUCT over alle p](1-(p^-s))^-1

Heel veel dank , groeten

Viky

viky
Student hbo - vrijdag 16 april 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Dat wordt niet gemakkelijk...
Ik heb op deze link een karakterisatie gevonden van getallen die te schrijven zijn als som van twee kwadraten: de nodige en voldoende voorwaarde is, dat in de priemontbinding de priemfactoren 3,7,11,19,23,... tot een even macht voorkomen. Dat zijn dus de priemgetallen die bij deling door 4, rest 3 hebben.

Een schets van het bewijs hiervan kan je op die link vinden.

Hieruit kan je een aantal zaken opmerken:
1. als m en n voldoen aan de voorwaarde, dus als ze allebei als som van twee kwadraten te schrijven zijn, dan ook mn.
2. als f(m)=1, f(n)=0, dan f(mn)=0, want in m zijn alle exponenten die bij de priemen (3mod4) horen, even. En in n is er zo een priem, tot een oneven exponent. Het product van m en n zal nog steeds een oneven exponent hebben bij die priem. Vb: m=2·7·7, n=7·11·11·13, mn=2·7·7·7·11·11·13. Het is dan die 7 die ervoor zorgt dat f(n)=0, en f(mn)=0 omdat de exponent 1 resp. 3 is.
3. als f(m)=0, f(n)=0 dan hebben ze allebei een priem (3mod4) tot een oneven exponent. Wanneer m en n onderling ondeelbaar zijn (ggd=1), dan hebben ze geen priemfactoren gemeen, en dus zal het product nog steeds priemen (3mod4) tot een oneven macht bezitten.
Vb: m=7, n=2·11, mn=2·7·11
Echter, wanneer je niet eist dat ggd(m,n)=1, kan je problemen krijgen: het kan dan gebeuren dat exact dezelfde priemen(3mod4) in m én in n tot een oneven macht voorkomen. Het product zal dan al deze priemen tot een even macht hebben, en dus f(mn)=1.
Vb: m=2·5·7·11, n=7·7·7·11·13
f(m)=0 want 7,11 hebben oneven exponent.
f(n)=0 want 7,11 hebben oneven exponent.
f(mn)=1 want alle priemen (3mod4) hebben even exponent.

Dit beantwoordt je vraag: f is niet sterk multiplicatief, het eenvoudigste voorbeeld is 3·3=9 met f(3)=0, f(9)=1.

NB: (a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+(ad+bc)2
Het is dus wel eenvoudig te bewijzen, dat als f(m)=1,f(n)=1 dan f(mn)=1. Voor het bewijs van de andere gelijkheden kan je echter niet met zo een truc werken, en heb je dus wel degelijk de karakterisatie nodig met die priemen (3mod4)

En dan die laatste vraag: je moet n-s optellen voor alle waarden van n die f(n)=1 hebben. Met andere woorden: alle n van de volgende vorm
n=Õ2mpimi qj2nj
met m,mi,nj Î;
met pi de priemen (1mod4)
met qj de priemen (3mod4)
en het product loopt over i en j.

Gebruik makend van de Eulerfunctie zou je dan die uitdrukking moeten kunnen afleiden:
åf(n)n-s
=ån-s - åt-s
waarbij t de getallen zijn die een priem (3mod4) tot een oneven exponent bevatten.

Ik denk dat je van daaruit wel op de gevraagde gelijkheid moet komen...

Hier wordt vooral ingegaan op het aantal manieren waarop je een getal kan schrijven als som van twee kwadraten, en misschien dat je daar iets mee bent voor die andere vraag (die som die naar p/Ö2 moet gaan of zoiets). Maar daar ben ik absoluut niet zeker van.

Voor een expliciet bewijs van de karakterisatiestelling kan je hier terecht op pagina 20,21 en voorgaande lemma's.

Ik hoop dat je eruit geraakt,
Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 16 april 2004
 Re: Arithmetische functies 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3