WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Maantjes van Hippocrates

Ik heb een figuur gevonden van de maantjes van hippocrates. Deze zou ik moeten uitleggen,maar ik vind op internet geen goeie uit leg van wat dat eigelijk wil zeggen.
Zou u mij daarbij kunnen helpen?
Ik heb gevonden dat het iets met het kwadrateren te maken heeft van een figuur, maar verder ben ik niet geraakt.
Vriendelijke groeten,
Leen
Leen
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 6 april 2004

Antwoord

Beste Leen,

De maantjes van Hippocrates worden gebruikt om een van de zogenoemde klassieke problemen op te lossen: De kwadratuur van een cirkel. Het gaat hier om met passer, en meetlat een rechthoek te tekenen die hetzelfde oppervlak heeft als een gegeven cirkel.
Let op kwadreren is iets heel anders dan kwadrateren. Kwadreren = tot een vierkant (kwadraat) omvormen.

De maantjes waren een poging om het probleem te 'vereenvoudigen', helaas zoals we later zullen zien was deze poging tevergeefs.

De eerste maantjes van Hippocrates

Construeer een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC en teken de halve cirkels op ieder lijnstuk.

Deze eerste maantjes zijn kwadreerbaar.

De tweede maantjes van Hippocrates

Constructie
- Teken een halve cirkel met middellijn AB
- De straal r = MA wordt langs de omtrek afgepasserd en zo vinden we de punten C en D.
- Vanuit de middens de zijden maken we weer halve cirkels.
- Verder maken we nog een halve cirkel met als middellijn EF = AD.

Als we hier nu maantje 1 konden kwadreren dan konden we ook wel 3 van die maantjes kwadreren, en dus ook het verschil VII - (I+II+III).
Daarmee zou de halve cirkel VIII gekwadreerd zijn, waarna een hele cirkel niet moeilijk meer is.
Kortom:
Kwadratuur tweede maantje = kwadratuur van de cirkel
Helaas, tot nog toe is het niemand gelukt, het tweede maantje van Hippocrates tot een vierkant om te vormen.

Sterker nog als we van een cirkel met straal 1, dus met oppervlakte p uitgaan. Dan betekent kwadreren: Contrueer de zijde van x van een vierkant zodanig dat x² = p.
In feite hebben we dan eigenlijk Öp gekonstrueerd.
Maar:
Öp construeerbaar = p construeerbaar = [Q(p):Q] is een macht van 2 = de minimale veelterm m(x) van p is van de 2-de graad.

p is echter transcendent over Q, dus helemaal geen nulpunt van een algebraische vergelijking over Q, laat staan van een vergelijking met als graad een macht van 2.

De kwadratuur van een cirkel is dus onmogelijk.

In dit 'bewijs' zitten twee zaken die toch echt zeer ingewikkeld zijn.
1. De term minimale veelterm (is nog wel uit te leggen)
2. Dat p transcedent is.

Dit tweede is in 1882 bewezen door Lindemann, maar dit bewijs is echt zeer ingewikkeld en wordt alleen op universiteiten in sommige specifieke situaties uitgelegd.

Hopelijk heb je er toch wat aan.

M.v.g.
PHS

Zie ook:
Kwadratuur
De drie klassieke problemen van de Griekse wiskunde
Kwadratuur van de cirkel uitleg volgens mathworld (Engels)
Over de maantjes op mathworld (Engels)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 7 april 2004

Re: Maantjes van Hippocrates