De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oplosbaarheid

Ik heb een vraag waar ik niet uitkom:

Geef alle oplossingen van de vergelijking 11x-5y+4=0 waarbij (x,y) $\in$ [-60x40]x[-125,125]

Ik weet niet te beginnen. Het heeft volgens mij te maken met congruentievergelijkingen.
Alvast bedankt,

Henri
Student hbo - dinsdag 2 maart 2004

Antwoord

Hoi,

Ik weet niet of je bekend bent met de theorie van de lineaire Diophantische vergelijkingen, zo niet dan hoor ik 't wel.

Eerst ga ik de vergelijking herschrijven naar -11x + 5y = 4.
Nu gaan we de grootste gemene deler van (-11,5) zoeken via het algortime van Euclides bijvoorbeeld.
-11 = -3·5+4
5 = 1·4+1
4 = 4·1+0
$\Rightarrow$ ggd(-11,5) = 1 (had je ook zo kunnen weten ze zijn beide priem, en -11 is geen deler van 5 en vice versa).
Tevens geldt dat 1|4 want 4=1·4+0 (1 is een deler van elk getal).

Nu gaan we één oplossing (x,y) zoeken die voldoet aan de vergelijking -11x+5y=1. Via het omgekeerde algoritme van Euclides vinden we dat 1=5-1·4 (·) en 4=-11+3·5 (-), nu vervangen we de 4 van (·) in (-), 1=5-(-11+3·5) dus 1=-2·5+11 m.a.w. x=-1 en y=-2. Éen oplossing is dus (-1,-2). Maar dat was de oplossing van -11x+5y=1, we moesten hebben -11x+5y=4, dus de gevonden oplossing moet met 4 worden vermenigvuldigd, één oplossing is dus (-4,-8).

Maar er zijn oneindig veel oplossingen. We vinden de andere oplossing door de richtingscoëfficiënt van de functie te vinden, -11x+5y=4 $\Leftrightarrow$ 5y=11x+4 $\Leftrightarrow$ y=11/5x + 0,8. Wat weet je van de functie y=ax + b. Daar is a de richtingscoëfficiënt, waarbij de teller het hoogteverschil (hier 11) en de noemer het lengteverschil (hier 5). Dus in de y-richting neem je stapjes van 11 en in de x-richting neem je stapjes van 5. Probeer de definitie van rc = $\Delta$y/$\Delta$x te herinneren.

We weten dat (-4,-8) één oplossing is, en we weten wat je met de x en de y moet doen om de volgende oplossing te krijgen.

Dus de oplossing voor x = -4 + 5t, en y = -8 + 11t waarbij t$\in$$\mathbf{Z}$. Of ook x = -4 (mod 5) en y = -8 (mod 11).
Hieruit volgt dat je ook kunt zeggen x = 1 (mod 5) en y= 3 (mod 11). [Die 1 en die 3 had je natuurlijk ook direct kunnen vinden door slim te gokken in de vergelijking].

En omdat je weet dat x$\in$[-60,40] en dat x=-4+5t gaan we kijken in welk interval t moet liggen, dus
-4+5t = -60 $\Leftrightarrow$ 5t = -56 $\Leftrightarrow$ t =-11,2
En -4+5t=40 $\Leftrightarrow$ 5t = 44 $\Leftrightarrow$ t=8,8 dus volgens de x-waarden liggen onze t-waarden liggen in het interval [-11,8]. Hetzelfde doen we voor de y-waarden. De minimumwaarde van y=-125 dus -8+11t=-125 $\Leftrightarrow$ t$\approx$-10; de maximumwaarde is y=125 dus -8+11t=125 $\Leftrightarrow$ t$\approx$12. Dus de t-waarden van y liggen in het interval [-10,12].
Dus het interval waarin zowel x als y in het juiste interval liggen is voor t $\in$ [-10,8]. Dus de t-waarden die aangenomen mogen worden zijn -10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7 en 8.

q20917img1.gif

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 2 maart 2004



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3