De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Kwadraatresten

Beste meneer/mevrouw,

Ik heb de volgende vraag.
Zij p een priemgetal groter dan twee.Hoe bewijs je het volgende:
6 is een kwadraatrest van p dan en slechts dan als p congruent is met 1,5,19,23 modulo 24.Het bewijs van links naar rechts is gelukt maar het bewijs van rechts naar links lukt mij niet.

Alvast bedankt, groeten Viky

viky
Student universiteit - maandag 1 maart 2004

Antwoord

Dag Viky,

Als je gelijkheden (2) tot (5) op deze pagina mag gebruiken, is het eenvoudig:

Schrijf (6/p)=(-1/p)(2/p)(-3/p)

Als p $\equiv$ 1 mod 24: (6/p) = 1·1·1
Als p $\equiv$ 5 mod 24: (6/p) = 1·(-1)·(-1)
Als p $\equiv$ 19 mod 24: (6/p) = (-1)·(-1)·1
Als p $\equiv$ 23 mod 24: (6/p) = (-1)·1·(-1)

Telkens is het resultaat 1 en dus is 6 steeds een kwadraatrest modulo die bepaalde p.

Je kan ook (6/p) schrijven als (2/p)(3/p) en dan (3/p) uitwerken met de kwadratische wederkerigheidswet:
(3/p) = (-1)[(p-1)/2] · [(3-1)/2] (p/3)
= 1·1 voor p=1 (mod 24)
= 1·(-1) voor p=5 (mod 24)
= (-1)·1 voor p=19 mod 24
= (-1)·(-1) voor p=23 mod 24

Met hetzelfde resultaat.

Als je een aantal van de gebruikte eigenschappen niet gezien hebt, reageer dan maar op dit antwoord en laat weten wat je wel mag gebruiken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 1 maart 2004
 Re: Kwadraatresten 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3