WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Produktreeks

bij de definitie van produktreeks in mijn cursus staat;

Beschouw 2 reeksen å(van n=0 tot ¥)a_n en å(van n=0 tot ¥)b_n
We associëren daar mee een nieuwe reeks å(van n=0 tot ¥)c_n, waarbij c_n = å(van k=0 tot n)a_k b_(n-k)

en een paar pagina's verder stond dan dat
å(van n=0 tot ¥)a_n * å(van n=0 tot ¥)b_n = å(van n=0 tot ¥)c_n

het is het gebruik van indices dat ik hier niet goed snap, waarom is het in de eerste defintie ineens met k?? en waar komt die k dan vandaan?

dank je

Lynn
Lynn A
Student universiteit België - maandag 19 januari 2004

Antwoord

Dag Lynn...

De productreeks wordt gewoon op die manier gedefinieerd:
c₀=a₀b₀ want als n=0 en 0kn dan kan k alleen nul zijn.

c₁=a₀b₁+a₁b₀ want als n=1 en 0kn dan kan k alleen nul of één zijn.

c₂=a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀

Enzovoort.

Wat dan die eigenschap betreft: daar staat eigenlijk
(a₀+a₁+a₂+...)*(b₀+b₁+b₂+...)
=a₀b₀ + a₀b₁+a₁b₀ + a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀
=c₀+c₁+c₂+...

(je moet wel letten op convergentie-eigenschappen, dus dit is nog geen bewijs voor die eigenschap, maar het zou je wel moeten doen inzien dat het eigenlijk heel logisch is)

Een oefening daarop: kies eens als a-reeks 1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,... en als b-reeks juist hetzelfde. Bereken dan volgens de definitie de eerste termen van de c-reeks (dus c₀=1*1; c₁=1* 1/2 + 1/2 *1;... en overtuig jezelf dat het product van de a-reekssom met de b-reekssom, de c-reekssom is.

Groeten,

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 19 januari 2004