WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oppervlakte cirkel benaderen met Riemann-sommen

Ik heb een opdracht gekregen waar ik niet uitkom:
Bereken het oppervlak van een cirkel met straal 10 cm op de volgende manieren:

a) Deel het oppervlak op in n ringen en laat zien dat voor het oppervlak van de i-de cirkel kan gelden: S_i=2.px_i.Dx en stel de Riemann-som op.

b) Deel het cirkeloppervlak op in rechthoeken en stel de Riemann-som op voor de rechthoeken.
Hint: x²+y²=10²

Ik kom er niet uit kun jij me helpen????

Edwin
Student hbo - maandag 29 december 2003

Antwoord

Hoi,

Een paar tips moeten je op weg helpen:

a) Je hebt een cirkel met midden m en straal r=10cm. Je tekent met dit midden m n cirkels met straal r_i=r.i/n met i=1..n. De afstand tussen 2 opeenvolgende cirkels is Dr=r/n. De oppervlakte tussen deze opeenvolgende cirkels kan je benaderen door DS_n,i=2p.r_i.Dr=2p.r.i/n.r/n. De oppervlakte van de cirkel benaderen we dan S_n=sum(DS_n,i:i=1..n)=2pr²/n².sum(i:i=1..n)=2pr²/n².n.(n+1)/2=p.r².(n+1)/n. Voor n®¥ komen de cirkels steeds dichter bij elkaar en benadert S_n de oppervlakte van de cirkel steeds beter: lim(S_n,n®¥)=p.r².

b) Uit de vergelijking van de cirkel haal je de vergelijking van de bovenste boog: y=Ö(r²-x²). We bekijken het stuk in het eerste kwadrant en stellen dus een Riemann-som op voor 1/4 van de oppervlakte van de cirkel. Het interval [0,r] delen we ook hier weer in stukjes door de punten r_i=r.i/n met i=1..n. Boven het interval [r_i,r_i+1] staat er stuk van de cirkel waarvan we de oppervlakte benaderen door een rechthoekje met hoogte y_i=Ö(r²-r_i²). De oppervlakte van dit rechthoekje is DS_n,i=(r_i+1-r_i).Ö(r²-r_i²)=r/n.Ö(r²-(r.i/n)²)=r²/n.Ö(1-(i/n)²). Het hele cirkelkwart benaderen we dan met S_n=sum(DS_n,i:i=1..n)=r²/n.sum(Ö(1-(i/n)²),i:i=1..n). We moeten dus enkel nog bewijzen dat sum(Ö(1-(i/n)²):i=1..n)/n®p/4 wanneer n®¥. Maar eigenlijk was het voldoende de sommen op te stellen... Als je die limiet ook moet bewijzen, stuur je maar een reactie.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 december 2003