WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vierkanten en parabolen

Dit is een reactie op vraag 15687

Ik moet een wiskunde PO maken en dat moet ik binnenkort inleveren, maar ik snap er niks van.

Ik moet onderzoeken voor welke p en q de parabolen y=px²+qx door de roostervierkantjes [2,3] maal [5,6] en [-4,3] maal [10,11] gaan (waarbij [5,6] en [-4,3] op de waarden van x zijn en de anderen de waarden van y). Ik mag me beperken tot parabolen door de oorsprong.

Ik kom er helemaal niet meer uit. Ik weet dat p positief moet zijn. Kunnen jullie mij alsjeblieft helpen? Weten jullie hoe p en q opgelost kunnen worden?
Iris
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 14 november 2003

Antwoord

Hoi,

We nemen [a,b]=[5,6], [c,d]=[2,3], [a',b']=[-4,3] en [c',d']=[10,11] (een kleine variatie tov je vorige vraag blijkbaar...).

Je hebt het over 2 rechthoekjes [a,b]x[c,d] en [a',b']x[c',d'] en een vertikale parabool y=f(x)=p.x²+q.x.

De grafiek van y=f(x) loopt door een rechthoekje [a,b]x[c,d] wanneer er een x bestaat in [a,b], zodat y in [c,d] ligt. De functie de we bekijken is voor alle x gedefinieerd en continu. In het bijzonder kunnen we f(a) en f(b) vergelijken met [c,d]:

Geval 1. f(a)$<$c
- Geval 1.1 f(b)$<$c ?
- Geval 1.2 c$\leq$f(b)$\leq$d ok
- Geval 1.3 d$<$f(b) ok

Geval 2. c$\leq$f(a)$\leq$d ok

Geval 3. d$<$f(a)
- Geval 3.1 f(b)$<$c ok
- Geval 3.2 c $\leq$f(b)$\leq$d ok
- Geval 3.3 d$<$f(b) ?

In de gevallen waarbij ik ok zette, is het duidelijk dat f(x) het rechthoekje snijdt. Ofwel is dit zo in één van de grenspunten, ofwel zal f(x) omwille van de continuïteit een punt tussen c en d bereiken.

In twee andere gevallen ligt f(x) ofwel boven ofwel onder het rechthoekje in de punten a en b.
Hieruit kunnen we echter niet besluiten dat f(x) het rechthoekje niet snijdt. Dit zou eventueel kunnen voor een punt tussen a en b. In Geval 1.1 moet je echt de snijpunten van f(x) met y=c berekenen en in Geval 3.3 met y=d. Je zal in elk van deze gevallen 0, 1 of 2 reële oplossingen vinden. Als je minstens 1 oplossing vindt tussen a en b, dan snijdt f(x) het rechthoekje. Omdat het hier om een parabool gaat, kunnen we nog iets verder redeneren.

Geval 1.1 f(a)$<$c en f(b)$<$c
Als de parabool monotoon daalt of stijgt op [a,b], dan zal f(x) onder y=c blijven.
Enkel wanneer f(x) een maximum bereikt dat boven y=c ligt, gaat de parabool door het rechthoekje. f(x) bereikt een maximum in x=-q/2p. De voorwaarde voor p en q halen we dus uit:
f(a)$<$c, f(b)$<$c, a$<$-q/2p$<$b en f(-q/2p)>c en (p$<$0).

Geval 3.3 d$<$f(a) en d$<$f(b)
Analoog als in Geval 1.1 vinden we: d$<$f(a), d$<$f(b), a$<$-q/2p$<$b en f(-q/2p)$<$d (en p>0).

Zo kan je tot 7 stellen van voorwaarden voor p en q afleiden waaronder f(x) het rechthoekje [a,b]x[c,d] snijdt. Bemerk dat sommige gevallen voor jouw waarden van a,b,c en d misschien niet mogelijk zijn. De voorwaarden kunnen best ingewikkeld zijn en het zal interessant zijn om ze voor te stellen als gebieden in een P-Q-assenstelsel.

Op dezelfde manier vind je de voorwaarden om [a',b']x[c',d'] te snijden. f(x) snijdt beide rechthoekjes voor waarden van p en q die aan beide voorwaarden voldoen. Je moet dus grafisch in het P-Q-assenstelsel de doorsnede van beide goede gebieden nemen.

De uitwerking laat ik aan jou (het is jouw PO ). Als je nog problemen hebt, reageer je maar.

Succes ermee.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 14 november 2003