De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convergentie

Vraag 1: (an) convergeert naar alpha en (bn) convergeert naar beta. (cn)=min{an,bn}. Bespreek de convergentie van (cn).


Ik ben vertrokken van het feit of (an) en (bn) samen dalend/stijgend zijn, indien "n geldt: anbn, dan zou (cn) convergeren naar alpha enz.
Maar ik ben niet zeker van deze werkwijze...
En wat als (an) dalend en (bn) stijgend is? Is dan (cn)divergent?

Vraag 2: Als å an convergeert, dan convergeert å Ö (an). Geef bewijs of tegenvoorbeeld.


Ik ben zo begonnen:
Als å an convergeert, dan convergeert (an) naar 0. En als (an) convergeert, dan convergeert (Ö an) ook naar O.
Maar daaruit mag je niet de convergentie van åÖan besluiten, hoe ga je dan verder?


Thx

Kelly
Student universiteit - donderdag 7 augustus 2003

Antwoord

1)

** Als a en b verschillend zijn, dan betekent het bestaan van de limieten dat je een willekeurig kleine omgeving rond a en b kan kiezen, en dat er toch steeds een termnummer N zal bestaan vanaf dewelke de bewuste termen in die omgeving liggen.

Kies de straal nu kleiner dan |a-b|/2 zodat beide omgevingen strikt gescheiden zijn. Veronderstel nu dat ab. Voor nN zal dus (an)(bn) en (cn)=(an). (cn) convergeert dus in dat geval naar a. Analoog voor ba om te concluderen dat (cn) convergeert naar min(a,b)

** Als a=b, dan is het niet zeker dat er een punt bestaat vanwaar de termen van (cn) gegeven worden door slechts een van de twee gegeven rijen. Maar dat doet er niet toe. De definitie van limiet vraagt alleen dat je de termen willekeurig dicht kan laten naderen tot het limietpunt, desnoods door ver genoeg in de rij te gaan kijken. Je ziet zelf dat dat direct volgt uit de convergentie van de rijen (an) en (bn).

Samenvattend kunnen we stellen dat (cn) convergeert naar min(a,b)

2)

Tegenvoorbeeld:

som(1/n2,n van 1 tot ¥) convergeert (info: waarde p2/6)
som(1/n ,n van 1 tot ¥) divergeert

Beiden volgen bijvoorbeeld uit de integraaltest.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 7 augustus 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3